不等式优超方法引论_陈计

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1、玉澳师专学报(自然科学版)1989年第4期不等式优超方法引论’ALBERTWMARSHALLING尺AMOLKIN陈计曹冬极译张在明校:。提要本文简要地介绍了优超理论及其在导出不等式方面的应用优超关系是关于向量的预次序关,,,,,系当二被y优超时不等式得自今(二)有中(y)今为保序函数就优超关系而言保序函数称为Sc五ur。。,凸函数我们给出了按优超次序排列的向量及Sc卜,r凸函数的例子为阐明其用途我们推导了一些不。等式、引宫,本文不是介绍一个特殊的不等式或是一类不等式而是专门介绍证明不等式的一种普遍。,的方法当这个方法取代通常特

2、定的证明的证法时它往往对旧的不等式提供新见解或引导。各种延拓和推广尽管,这儿介绍的想法至少从本世纪初开始就被有些作者所使用但这些想法的适用范围。仍未得到广泛的赏识假设“<”是n”,”象实维向量空间尺这种的某个集合的预次序关系定义在R上的实值函,数巾称为保序的如果u哎v含有小(u)(中(v)x,x,,。对R斯户任给一对点y满足

3、小到大自然上升的而且。(11)易于构造很多保序函数类。,我们给出优超关系的一些例子(第3节)和保序函数的例子(第4节)在第5节我们举;在第,。例说明不等式的推导6节我们指出优超机系的延拓和推广我们仅打算将本文作为:esa.:enera原题InequalitiViaMjorization一AnIntroduetion译自Glneqaesroe。eroaeonerenee,ra,,-Iuliti3(PObwlfhCfAPil26一MyZ1981)Ede。。eeenaean。aer,,rsererog-1tdbyEFBkbhdwWlt

4、ISNM64BikhauVlar,,.BaselandStuttgt1883165一187不等式优超方法引论87。,1979),基本思想的一个概论在我们的书(Mar比al)l〔8〕中这个学科得到了更详尽的,。讨论而且还列出了极为丰富的参考文献、2优超关系x=x,,,xn,对于任何具有实分量的向量(…)用x〔:Jx.,x::)x)>…>《…《’(,分别表示递减和递增的ix并置x=xr:了,,x〔。1,x=x,,x`一),告(…)个(…)。xyxyx2l定义向量被称为被向量优超(记成代y)或者被称为优超于向最(记成x,y汁)如果kx

5、r:,《y〔`:k”1,…,n一1艺艺。(2l)in艺yr;I-,或者等价地kl(i、,,,,艺Xyk二1…n一i。(22)、.y(;x,,对于检验代y这个定义是很方便的但是它没使次序关系的意义清楚明白地显示出来。,更直观的方法是通过双随机矩阵的途径nxn矩阵P被称为双随机的如果其元素均非,。负而且所有的行和与列和都等于1.,。2定理x吠y的充要条件是存在双随机矩阵P使得2(。x,,,X幻=:,,.23)(…)(v….y)P:,,,`”。,“”。这样每个元素ix是y…y的凸组合(平均)在这个意义上说ix比iy更平均些,Daton

6、在比较收入分配的多少关系时〔3〕(1920)曾提出促进优超概念形成的有趣间题。ny:,,y。。△由较高的转让给,考虑个人的收入…如果收入较低的收入仅要求转,。让的收入不能太大使这两个人的相对收入的大小颠倒那么收入的分配就更平均些即在,y(益)+△《y(i)一△时。,),,,,,,n)(y…ys)十△…y;j)一△…y)玉澳师专学报(自然科学版)1989年第4期表示的收入分配比(:)-,,y(j),(。)y(yy(i)……)一。,xy,x表示的更平均些更一般地如果能在经这种变换后得到那么所表示的收入分配要比。y所表示的更平均些,o

7、n“”用矩阵的记号Dalt上述观念中的变换是应用如下这种特殊的双随机矩阵来:实现的1一住.心一.a住.…二…a丁几.0《《1,土::一这。样的双随机矩阵一般被称为下一变换..23定理x代y的充要条件是存在丁一变换的有限序列下:,…k,T使得:。x二yT…下kx,,,x。,,,a,urea在…和y…y为整数的情形时这个给果由Mihd〔10〕(1905)得到ar,ea。的,一般的清形则是属于HdyLittlwood和pOly〔6」(1929)的这个定理表明在aonx;,,X。,,,,x。Dlt〔3三(190)的意义下收入…比y…y更

8、平均当且仅当代y,;。,显而易见T一变换积都是双随机的但并非所有双随机矩阵都是这样的乘积所以..。,.。定理23比定理22更强而且由此可知定理22中的矩阵P一般是不唯一的’.,另外对于r一变换的乘积已知定理22中的矩阵P可以从各种不同的双随机矩阵子。,,类中选取