NOIP初赛取石子问题解析

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1、为了这个问题，参考了一些书籍，找到了一些算法，现在把它放在这里和大家一起共享。几种有趣的算法：             （一）巴什博奕（BashGame）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。       显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果

2、剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。       这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。       （二）威佐夫博奕（WythoffGame）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。        这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak≤bk,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0

3、），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。       可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk=ak+k，奇异局势有如下三条性质：       1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。       由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak>ak-1，而bk=ak+k>ak-1+k-1=bk-1>ak-1。所以性质1。成立。       2、任意操作都可将奇异局势变为

4、非奇异局势。       事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。       3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。       假设面对的局势是（a,b），若b=a，则同时从两堆中取走a个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a=ak，b>bk，那么，取走b-bk个物体，即变为奇异局势；如果a=ak，b

5、势（ab-ak,ab-ak+b-ak）；如果a>ak，b=ak+k,则从第一堆中拿走多余的数量a-ak即可；如果a

6、    奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2=1.618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a=aj，bj=aj+j，若不等于，那么a=aj+1，bj+1=aj+1+j+1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。       （三）尼姆博奕（NimmGame）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。        这种情

7、况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。       计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：1=二进制012=二进制103=二进制11（+）——————

8、—0=二进制00（注意不进位）对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a