第五章插值函数的构造1

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1、计算力学第五章插值函数的构造2011年12月1本章要点•C型单元插值函数构造0•Hermite单元插值函数构造•**阶谱单元插值函数构造2011年12月2本章目录•5.1几点说明•5.2Lagrange单元簇•5.3Serendipity单元簇•5.4三角形单元簇•5.5三维单元的插值函数•5.6Hermite单元簇•**5.7阶谱单元2011年12月35.1几点说明1•本章主要讨论C0型单元包xy完全一次括三角形单元系，矩形单元系（Lagrange和x2xyy2完全二次Serendipity单元族），不x3x2yxy2y3完全三次考虑C1型单元（梁

2、除外）；x4x3yx2y2xy3y4•对等参元（等参数单元）而言，插值函数等同于形函数•Pascal三角形•位移函数的完全多项式构造参照：Pascal三角形2011年12月45.1几点说明•对协调元而言，构造插值函数的原则性要求：1.Ni(xj,yj,zj)=δij2.保证连续性，即协调性3.完备性，对C0单元，要求包含任意线性项4.∑Ni=1→保证刚体平动，但不保证能描述常应变状态2011年12月5C型单元簇插值函数构造02011年12月65.2Lagrange单元簇2011年12月71.一维Lagrange多项式ξξ0ξ1ξ2ξn第k点对应的插值

3、函数：n(0)(1)(k1)(k1)(n)Nl()kk()()()()()k0k1kk1kk1knk0,1,,nn1个节点，n次多项式nnwhy?显然满足ij的性质，lk()1k0Kroneckerdaltannlkk()n次多项式在k0n+1个点上都等于12011年12月81.Lagrange单元单元的节点参数中只包含场函数的节点值的Ｃ型单元0称为Lagrange单元对于具有n个节点的一维单元，如果他的包含场函数的节点值，则单元的场函数可插值表示为:

4、ξξ0ξ1ξ2ξnn场函数：()NQiii1nNi()jijNi()1xi12011年12月92.二维Lagrange多项式对所有的点沿着两个编号，设第i个点对应的编号为(I,J)，其对应的插值函数为：nmNNl()()liIJIJ1(0,m)(n,m)(I,J)1η(0,0)(n,0)ξ2011年12月102.二维Lagrange多项式几种常用的Lagrange单元：线性二次三次1三次完全xy多项式若m=n，其对应很多寄生的Pascal三角形x2xyy2项为菱形：x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x5x4

5、yx3y2x2y3xy4y5x3y32011年12月113.三维Lagrange多项式(0,n,p)(m,n,p)ζη(0,0,0)(n,0,0)ξ沿着三个方向分成nmp等分，并对节点进行编号设第i个节点的编号为(,,)IJK，则其对应的插值函数为：nmpNNl()()()lliIJKIJK2011年12月124.Lagrange单元的特点•优点：满足协调性，形式统一，使用简单•缺点：–二维、三维情形有大量内部节点，增加自由度–高阶多项式拟合性差2011年12月135划线法划线法(试凑法):采用经过除了本节点外的其他节点的直线方程的左部

6、的函数积来构造插值函数N，这个方法的本质还是Lagerange插值法。１矩形单元的形函数矩阵构造10y4(-1,1)43(1,1)(x,y)443(x,y)133bx正则(基准)110b坐标系12(1,-1)12(x,y)(-1,-1)(x,y)221111aa令x/a,y/b由形函数性质N(,)1N(,)N(,)N(,)01111221331442011年12月145划线法对于１点可设:N1(,)(1)(1)10N1(1,1)414(-1,1)3(1,1)1/4

7、11N1(,)(1)(1)正则(自然)1104坐标系12(1,-1)(-1,-1)11同理,有1N(,)(1)(1)241N(,)(1)(1)341N(,)(1)(1)442011年12月155划线法3L=0L2=b22六节点三角形单元的形函数构造yL1=aL1=0P(a,b,c)三角单元中特殊部位的面积坐标值L3=c211）三角形顶点1相似的L=1，其余的L3=01L=L=0；x23L1=12）三角形所对底边上的L=0;(1,2,3)(0,0,1)13L2-1/2=0L1-1/2=05

8、3)平行于1所对底边的n-n直线,其L1=kn/k=y6(0,1/2,1/2)常量.L3-1/2=0(1/2