水中的波(麻省理工学院)

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1、11.138J/2.062J/18.376J，波的传播2004年秋季麻省理工学院由C.C.Mei记录第四章水中的波1.海面上的波的控制方程在这一章，我们将建立水的模型，将水看作非粘性和不可压缩流体，并考虑幅度无穷小的波，以满足线性近似。回顾第一章，当引入可压缩性，由u=∇φ定义的速度势由波动方程控制221∂φ∇φ=(1.1)22c∂t其中，c=dp/dρ为声波速度。考虑比值21∂φc2t2ω2/k2∂~22∇φc如后面所给出的，最快的波的相速度为ω/k=gh，其中g为重力加速度，h为海深。2现在，海里h最多4000m，水中的声速为c=1400m/sec，因此上述比值最多为400

2、001=<<12140049因此，式(1.1)近似为2∇φ=0(1.2)令自由表面为z=ζ(x,y,t)。则对于平缓倾斜的自由表面，自由表面上流体的垂直速度必等于本身的垂直速度，即∂ζ∂φ=，z=0(1.3)∂t∂z必须只利用速度，该式称为运动学条件。∂uρ=−∇P−ρge(1.4)z∂t将总压力分为静态部分和动态部分2P=p+p(1.5)0其中，p为静压力0p=ρgz(1.6)0其满足0=−∇p−ρge(1.7)0z得出∂u∂∇φρ=ρ=−∇p(1.8)∂t∂t因此∂φp=−ρ(1.9)∂t表示速度势和动态压力的关系。假设海面上方的空气停滞不动。因为空气密度非常小，忽略空气的

3、动态效应，并假设空气压力为恒值，一般将其视作0。如果忽略表面张力，压力的连续性对一阶近似要求P=p+p=0，z=ζ0因此，我们有∂φρgζ+ρ=0，z=0(1.10)∂t在分析力时，上式称为动力学边界问题。两个条件(1.3)和(1.10)可合并为2∂φ∂φ+g=0，z=0(1.11)2∂t∂z如果也包含表面张力，我们对模型做一修正，有一薄膜覆盖在水的表面，表面上单位长度的张力为T。考虑自由表面上的一水平矩形dxdy。四个边上的垂直合力为⎛∂ζ∂ζ⎞⎛∂ζ∂ζ⎞⎛∂2ζ∂2ζ⎞⎜T−T⎟dy+⎜T−T⎟dx=T⎜+⎟dxdy⎜∂x∂x⎟⎜∂x∂x⎟⎜∂x2∂y2⎟⎝x+dxx⎠⎝

4、y+dyy⎠⎝⎠表面的单位面积上垂直力连续22⎛∂ζ∂ζ⎞p+p+T⎜+⎟=00⎜∂x2∂y2⎟⎝⎠因此322∂φ⎛∂ζ∂ζ⎞−ρgζ−ρ+T⎜+⎟=0，z=0(1.12)⎜22⎟∂t⎝∂x∂y⎠与运动学条件(1.3)结合得到2∂φ∂φT2∂φ+g−∇=0，z=0(1.13)2∂t∂zρ∂z忽略粘度，在刚性海底，垂直流体速度为0n⋅∇φ=0(1.14)令海底为z=−h(x,y)，则单位正交量为(h,h1,)xyn=(1.15)221+h+hxx因此∂φ∂h∂φ∂h∂φ=−−，z=−h(x,y)(1.16)∂z∂z∂x∂y∂y2水深恒定的海中的前进波2.1速度势考虑最简单的情况，

5、水深恒定，正弦波波峰无限长并平行于y轴。在垂直面(x,z)运动。寻找一个解，用来表示沿着x方向运动的波阵面，其频率为ω和波数为k。()ikx−iωtφ=fze(2.1)2f′′+kf=0,−h

6、inhkhe(2.7)∂t∂zz=0通过求积分ikx−iωt(Bksinhkh)ikx−iωtζ=Ae=e(2.8)−iω其中，A表示表面波幅度，由此得−iωAB=ksinhkh和−iωA()ikx−iωtφ=coshkz+heksinhkh(2.9)2−igA⎛Tk⎞coshk()z+hikx−iωt=⎜1+⎟e⎜⎟ω⎝gρ⎠coshkh首先分析频散关系式(2.6)，在此给出三个长度：深度h，波数λ=2π/k和长度λ=2π/kmmgρ2πTk=，λ==2π(2.10)mmTkgρm322在参考文献中，我们注意到，在空气和水的交接面，T/ρ=74cm/s，g=980cm/s，因

7、此，λ=.173cm。研究的海洋深度从O(10cm)到几千米。波长从几厘米到几百米。m引入2gρω=2gk=2g(2.11)mmT则式(2.6)的归一化为22ω1k⎛k⎞=⎜1+⎟tanhkh(2.12)2⎜2⎟ω2kkmm⎝m⎠首先考虑λ长度量级的波。对于待研究的海深，h>>λ，或hλ>>1，tanhkh≈1。m因此522ω1k⎛k⎞=⎜1+⎟(2.13)2⎜2⎟ω2kkmm⎝m⎠或量纲形式32Tkω=gk+(2.14)ρ相速度为2ωg⎛Tk⎞c==⎜1+⎟(2.15)⎜⎟kk⎝gρ⎠定义