group theory 7

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1、第五章对称群行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合.RT()={p}列置换算子集:杨盘T的所有的列置换算子组成的集合.CT()={q}PT()≡≡∑∑pQT()δqqpRT∈∈()qCT()杨算子:ET()≡=PTQT()()∑∑δqpqpRTqCT∈∈()()引理1:设T和T′是两个杨盘,由置换r相联系,即T′=rT.置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变到sT中的(k,l)处,则s′=rsr–1作用在T′上将T′中位于(i,j)处的数字变到s′T′中的(k,l)位置.推论:设T和T′是由置换r相联系的两个杨盘,即T′=rT,则

2、有下列关系成立−−11RT(')=rRTr(),CT(')=rCTr()−−11PT(')=rPTr(),QT(')=rQTr()−1ET(')=rETr()引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列置换,T′与T通过置换pq相联系,即T′=pqT.则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现在T′的同一列.设两个杨盘由置换r相联系,即T′=rT.如果T中任意两个位于同一行的数字不出现在即T′的同一列,则置换r必可表示为r=pq.引理3:设T和T′是属于不同杨图[λ]和[λ′]的两个杨盘,[λ]>[λ′],则总能找到两个数字同时出现在T的同一行和T′的

3、同一列.引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行和杨盘T′的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足ETET(')()=0推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T′,必有ETET(')()=0引理5:设x=∑xss()sS∈n是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘T的任意行置换p和列置换q,满足pxq=δxq则x与杨算子E(T)差一个常数因子,即x=θET()引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本原幂等元.相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个不可约表示空间,其维数是n!的因子.引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的.不同杨图的杨盘给出的

4、表示是不等价的.5.2对称群的不可约表示定理:杨算子E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大,每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到的杨盘称为标准杨盘.记作[]λTr定理:杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨[λ][]2λ图的标准杨盘的个数f.∑()!fn=[]λ杨图[λ]的标准盘个数的计算公式:f[]λ=n!gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.∏gij(,

5、)ij5431321半正则表示:标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘Tr[λ]出发,作标准盘系列:123n−1[]λλλλ[][][][]λ[1]TTTT,,,,...,T=Trrrrr相应杨算子为123n−1[]λλλλ[][][][]λ[1]EEEE,,,,...,E=Errrrr相应本原幂等元为1122nn−−11[]λλλλλλ[][][][][][]λ[]λEEE/θθθ,/,/,...,E/θrrrr半正规单位(半正则母单位):定义算子n−1[]λ[1]ees==rr0[]λλ[]θ=nf!/[]λn−21[]λλλnnn−−−121[][]e=e

6、Eer[]λn−2rrrθ[]λn−31[]λλλnnn−−−232[][]er=n−3eEerrr[]λ[]λe为本原幂等元,且满足θr..................[][]λµ[]λee=δδers[][]λµrsr[]λ11[]λλλ212[][]er=1eEerrr[]λθ[]λ∑es=r0[]λr[]λ1[][][]λλλ11e=eEer[]λrrrθ2[][]λλ1[][][][][][]λλλλλλ1111ee=eEeeEerr[]λrrrrrrθ22211[][]λλ1[]λλ21[]1[]λλλλλλnnnn

7、nn−−−−−−121121[][][][][][][]λλλλ12[][]1=eEeEeEeeEeEeEe[]λrr[]λλ12rr[]n−rrrrrrrrrrθθθ半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的[]λ[]λTT[]λλ=σ[]标准盘Tr和Ts由置换σrs∈Sn相联系,即srsr[]λλλ[][][]λ[][]λλ[]λEPQ=σE=PQ=E定义算子rsrrss.rrrrr为杨算子.[]λ1[][][]λλλ11构造Sn群代数RG的一组基ers=[]λeEerrssθn其中[][],[λ=−−−nn1,1],

8、[n2,2],[n2,1,1],...,[1][]λrs,=1,2