第十三讲 海底地形图测量的数学模型(1)

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1、第十三讲第十三讲海底地形测量图的插值模型海底地形测量图的插值模型一、问题的提出随着全球经济一体化和信息技术的发展，企业之间的合作日益加强，跨地区甚至跨国合作制造的趋势日益明显。国际上越来越多的制造企业不断地将大量常规业务“外包”（outsourcing）出去给发展中国家，而只保留最为核心的业务（如市场、关键系统设计和系统集成、总装配以及销售）。在这些合作生产的过程中，大量的物资和信息在更为广阔的地域间转移、储存和交换，国际物流活动将日益频繁，港口作为国际物流活动主要的载体，在国际贸易与国际经济合作中

2、愈来愈发挥着极其重要的作用。但是海底的地形是十分复杂的，它不仅分布有巍峨的海底山脉、平缓的海底平原，而且还有许多陡峭的海底深沟。为使轮船进出港口安全，就需要了解港口航道的海底地形。表1给出了水面直坐标（x，y）处的水深z，这是在低潮测得的。如果船的吃水深度为5Ft，试问在矩形区域(75，200)×(50，50)中行船应避免进入哪些区域？其中水平方向的坐标x,y以Yd(=0.914m)为单位，水深方向以Ft(=30.48cm)为单位.xx((YYdd))129.0140.0108.588.0185.5

3、195.5105.5yy((YYdd))7.5141.528.0147.022.5137.585.5zz((FFtt))4868688xx((YYdd))157.5107.577.081.0162.0162.0117.5yy((YYdd))-6.5-81.03.056.5-66.584.0-38.5zz((FFtt))9988949二、模型假设1.海底是光滑的，且无暗礁;2.每个给定的数据都影响着其它未知点的深度，且距离越近，影响越大;3.任何两个数据点之间深度的变化都影响着其它未知点的深度;4.对

4、于给定两个数据的变化对于某一未知点深度的影响，取决于三个距离：两个数据点连线与该未知点的垂直距离、该未知点与离它最近的那个数据点之间的距离及两个给定数据点之间的距离;5.两个数据点之间深度的变化对某一未知点深度的影响与这两个数据点连线线性传播;6.每一个给定的数据点对某一未知点深度的影响它们之间的距离平方成反比。三、分析与建摸根据假设条件海底是光滑的，无暗礁，因此很自然地想到利用光滑曲面来拟合海底曲面。例如可以用二维拉格朗日(Lagrange)插值或双三次样条函数来逼近。考虑到保凸性及光滑性的要求，

5、我们采用双三次样条函数来拟合.为了用双三次样条函数插值，必须知道xoy平面内所有网格上的深度，而所给数据的14个随机点并不构成任何网格。所以第一步生成网格：我们采取最简单的方法是过个14数据点分别作平行于x，y轴的直线，划分成不规则14×14的网格。150100500-5080100120140160180第二步确定那些未知点数据网格上的深度：应该说所有数据对未知网格的深度都有影响，只是越靠近的数据点影响越大。由于我们对海底所知甚少，所以只能通过某种加权平均来逼近未知网格接点上的深度，采用距离的倒数

6、作权重反映出距离越小影响越大。但仅用加权平均来逼近未知点的深度，它不能反映数据点深度的变化趋势。设Q，Q点的深度分别为4Ft和8Ft，G是QQ连线上1212未知深度的点(见图1)，QQ12==GQ14Ft，求G点的深度z。g根据光滑假设，由点Q经点Q到G点的深度应渐渐变21浅，因此，未知点G的深度应小于4Ft。Q14Q24Gx<448z下面用三种外推公式加以分析：1.加权平均外推公式zQ(,Q,G)zQ(,Q,G)1122+22GQGQ12z==4.8Ftg11+22GQGQ12其中z(Q,Q,G)

7、和z(Q,Q,G)分别表示Q,Q点的深度4Ft112212和8Ft。显然，z不符合小于4Ft的期望。gQ14Q24Gx44.88z下面用三种外推公式加以分析：2.线性外推公式z=0Ftg这个外推值又太小，也不符合实际情况。Q14Q24G0x48z下面用三种外推公式加以分析：2.线性外推公式z(QQ,,)Gz(Q,Q,)Gz(QQ,,)G112212++2222GQGQGQ+QQ12212z=g111++2222GQGQGQ+QQ12212=3.4Ft其中z(Q,Q,G)为线性外推值。这种外推比较合理

8、.12Q14Q24Gx3.448z现将上述一维情况变成二维情况，即未知点G不在已知点Q，Q的连线上。根据假设4，Q，Q点对G点深度1212的影响取决于三个距离：GP,,GQGQ，其中P是G到QQ1212延长线的垂足。利用上面的分析结果修改权因子，得到如下的加权平均：zQ(,Q,)PzQ(,Q,)PzQ(,Q,)P112212++22222GQGQGP++GQQQ12112z=g111++22222GQGQGP++GQQQ12112PQ1QQ12Q2GPGQG1zg为了