算法合集之《匹配算法在搜索问题中的应用 》

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1、匹配算法在搜索问题中的应用浙江省杭州第十四中学楼天城loutiancheng@sina.com很多题目，如果我们可以建立数学模型，应该尽量用解析法来处理，因为简单的模型更清晰地反映了事物之间的关系。但是，并不是所有的题目都可以建立简单的数学模型。我们这时必须使用搜索的方法，也就是枚举所有可能情况来寻找可行解或最优解。前言由于搜索一般建立在枚举之上，所以搜索常常和低效是分不开的。有时搜索的运算量非常大，实在是一件痛苦的事情。于是我们需要利用很多技巧来提高效率：可行性剪枝，最优性剪枝，调整搜索顺序，等方法都很有用，在它们的帮助下，我们可以大大提高搜索的效率。而有些题目，这些常规的优化

2、方法很难有用武之地。这时我们必须使用一些非常规的搜索方法。本文中我们将讨论非常规搜索中的一种——部分搜索+匹配算法引题：N个物品与N个位置，给定每个物品可能放的位置集合，要求寻找一一对应的关系。但还给出物品位置之间的限制（例如：如果1放在3则2不能放在1）。求一组可行解，或给每一种对应关系一个权，求满足条件的最优解。由于事物之间的限制关系非常复杂，很难建立简单的二分图关系，或者用网络流来解决。面对这一系列类似的问题，我们一般只有搜索，如何搜索又如何优化呢？简单分析：如果我们枚举每一个物品的位置，然后判断。这样的时间复杂度为O(n!)。好像似乎也只能这样。进一步分析：我们看一个例子

3、，n=6：其它限制有4条(a,b,c,d)表示如果a放在b则c不能放在d1356225331413262我们发现，如果我们一旦确定了3和5的位置，其它4个物品的位置之间已经没有限制关系了，这样其它4个物品的位置可以通过匹配来解决。这时我们发现一个新的搜索方法：部分搜索+匹配。1356225331413262部分搜索+匹配：搜索一部分变量，使得余下变量之间的关系简化，然后通过一些高效算法（匹配）完成余下问题。就本题而言就是：先搜索一定数量（而不是全部）物品的位置，使问题内其它物品的关系简化为二分图关系，用二分图匹配来解决余下的物品。通过部分搜索为匹配算法提供条件（例如上面的例子创造

4、二分图关系），而匹配算法代替搜索，高效地完成余下的任务。部分搜索+匹配的方法充分发挥了搜索和匹配算法的双重优势。搜索的优势在于应用性广，可以克服复杂的情况，匹配算法的优势在于效率高。两者相互促进，同时也弥补对方的不足。这也是这个方法成功的关键。例如上面的例子，如果我们先知道了3和5的位置后，不用匹配，其实我们是在用搜索来求匹配，效率当然不会高。部分搜索+匹配的方法已经在很多题目中得到了应用。一个部分搜索+匹配算法的经典例子。智破连环阵题目简述(NOI2003二试第三题)B国的连环阵由M个武器组成。最初，1号武器处于攻击状态，其他武器都处在无敌自卫状态。以后，一旦第i（1i

5、号武器被消灭，1秒钟以后第i+1号武器就自动从无敌自卫状态变成攻击状态。A国有N个炸弹，每个炸弹的作用半径均为k，且会持续爆炸5分钟。在这5分钟内，瞬间消灭离它直线距离不超过k的、处在攻击状态的B国武器，不会炸毁本国炸弹。任务：决定一个序列a1、a2、a3…使得在第ax号炸弹引爆的时间内连环阵被摧毁。这里的x应当尽量小。输入：N,M及武器和炸弹的坐标。测试数据中的坐标是随机生成的。初步分析：A国炸弹i可以炸到B国武器j的条件：(u[i]-x[j])2+(v[i]-y[j])2<=R2结论：很难找到求最优解的多项式算法。面对此类问题，一般只有搜索策略。进一步分析：每一颗炸弹必定炸掉

6、B国武器中编号连续的一段。5分钟只是表明每一颗炸弹可以炸掉任意多个编号连续的B国武器。普通的搜索方法：每次寻找一个编号最小的没有被炸掉的B国武器，选择一颗没有使用过并能炸到此武器的A国炸弹，然后使用这颗炸弹炸掉B国武器连续的一段，继续深度优先搜索下一颗炸弹的编号，如果发现B国武器已经全部炸毁就可以回溯。搜索的时间复杂度为O(n!)。即使加上优化，程序效率也不是很高。部分搜索：此题使用部分搜索的算法需要一些转化：如果已经将B国武器根据编号分为x段，其中第i段为[Si,Ti](S1=1,Ti>=Si,Ti+1=Si+1)。然后的任务就是判断是否可以从A国的N颗炸弹中选出x颗，分别可以

7、炸掉其中的一段。其实我们把搜索分为了两部分，（１）将B国武器根据编号分为x段。（２）判断是否可以从A国的N颗炸弹中选出x颗，分别可以炸掉其中的一段。其实第二部分可以用匹配来解决。建图：C[S][T][I]表示A国炸弹I是否可以炸到B国武器S,S+1..T-1,T。C[S][S][I]=((u[I]-x[S])2+(v[I]-y[S])2<=R2)C[S][T][I]=C[S][T-1][I]&&C[T][T][I](S