DSP_chapter5_class4

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1、BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BUPT张建华5.5FIRDF优化设计：概述前面介绍了两种FIRDFFIRDF的设计方法：窗口法：时域内逼近对所要求的滤波特性频率取样法：频域内逼近对所要求的滤波特性从数值逼近的理论看，对某个函数f(x)的逼近一般有下述三种方法：最小平方逼近法——付氏级数法（窗函数法）插值法——频率取样法一致逼近法——切比雪夫法DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua1BeijingUniversit

2、yofPostsandTelecomm,BUPT张建华最小平方逼近法-付氏级数法（窗函数法）它是在所需要的范围[a,b]内，使积分：b2px()fxdx()mina前面也指出，在最小平方意义上，付氏级数法是最佳的逼近，即付氏级数法就是一种最小平方逼近法；着眼于使整个区间[b[a,b]]内的总误差为最小，但不能保证在每个局部误差都最小；实际上，在某些位置（如不连续点：通带和阻带的交接处），有可能存在较多的误差；在间断点处出现了较大的振荡（Gibbs现象），为了减小这种振荡，采用加窗函数的方法

3、。当然，加窗函数以后的设计方法，已不再是最小平方最佳逼近。DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua2BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BUPT张建华插值法-频率取样法寻找一个n阶多项式（或三角多项式）p(x)：•在取样点上没有误差，使它在n+1个取样点x,0x,...,x处满足：1npx()fx()k0,1,2,...,nkk•在非内插点上，p(x)是f(x)的某种组合，存在一定的k误差。这种设计方法的缺点是通带和阻带的

4、边缘不易精确的确定，受限于取样点数。DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua3BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BUPT张建华一致逼近法-切比雪夫法着眼于在所需要的区间AA[a=[a,b]内使绝对误差函数：E(x)=

5、p(x)-f(x)

6、均匀一致，并且通过合理地选择p^(x)使E(x)的最大值E达到最小，即：mjjjminmax()()()WeHedHeA或者minmax()pxfx()A这

7、种方法称为最佳一致逼近。切比雪夫逼近理论解决了p(x)的存在性、唯一性及如何构造等一系列问题。DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua4BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BUPT张建华问题：给定FIR滤波器的阶数N；给定欲求的幅度函数给定欲求的幅度函数HH())；；获取具有最小加权误差的线性d相位相位FIRDFFIRDF；；给定加权函数W();目标：在要求的逼近范围内(通带及阻带)，使误差均匀分布，以获取良好的整体性能

8、；在最佳一致意义下的逼近。设计原则：jjj在逼近范围内，使最大误差最小化minmax()()()WeHedHeA优点：由该方法所得到的由该方法所得到的FIRFIR数字滤波器，同窗函数及频率采样法相数字滤波器，同窗函数及频率采样法相比，阶数较低。DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua5BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BUPT张建华加权误差函数误差容限图及加权误差函数：H(ejw)EWHH()

9、()dr()(),其中1+δ111-δ120通带p1δ20W()1阻带swpwπw-δ2s0过渡带spH(ejw)1+δ11-δ1通带波动EE()min(max())B过渡带w4B代表[0,π]上的频率集合的δ2w30一个子集（只代表通带、阻带内-δ2w1wwwπw2ps的频率，而不代表过渡带）。DigitalSignalProcessing,DSPZhangJianhua6BeijingUniversityofPostsan

10、dTelecomm,BUPT张建华切比雪夫逼近在前面的模拟滤波器设计中，已知切比雪夫多项式为：1Cn()xncoscosx11x在区间[-1，1]上存在n+1个点，xk*coskn012,,,...,kn轮流使得C(x)取得最大值1和最小值-1。nC(x)是x的多项式，且最高项xn的系数是2n-1，已证明在所n有n阶多项式中，多项式C(x)/2n-1和0的偏差最小。n因此，如果我们寻找p(x)时，能使误差函数为某一个C(x)，n那么，这