山一样沉稳 水一样灵动

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1、山一样沉稳水一样灵动——2016年高考全国卷Ⅰ数学试题评析湖北省襄阳市第一中学（441000）王勇（特级教师）2016年高考全国卷Ⅰ数学试题秉承了2015年的特点，难度进一步趋于稳定，在各种题型的命题中对很多知识点的考查与2015年大体相同，如选填题中对集合、复数、概率、三视图、程序框图、圆锥曲线的几何性质、平面向量的基本运算、三角函数的图象和性质、函数的图象的考查.在解答题中，仍然秉承第17题三角与数列轮流命题的特点，第19题是从统计出发的概率统计题，第20题考查直线和圆锥曲线的位置关系，第21题考查函数的零点问题，后面的三选一的题目无论是难度还是题型基本与2015年

2、保持一致.当然，2016年数学试题仍呈现出很多创新，总体特点是注重基础性，突出综合性和创新性，强化应用意识，深入考查理性思维和重要的数学思想方法.一、对选择题的评析理科选择题第1题考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法与集合的交集运算；第2题考查两复数相等的充要条件及复数模的概念；第3题考查等差数列的性质、通项公式、前项和公式；第4题考查几何概型概率的求法；第5题考查双曲线的标准方程及双曲线的几何性质的应用；第6题考查空间几何体的三视图、球的体积及表面积；第7题考查导数的应用、函数的图象和性质；第8题考查不等式的性质，对数函数、幂函数的性质，对数换底公式，指数幂的运算

3、性质；第9题考查程序框图；第10题考查抛物线、圆的标准方程；第八题考查空间几何体中线面的位置关系、空间两直线所成的角、特殊角的三角函数值；第12题考查三角函数的对称性、单调性、函数的零点等.文科选择题第1题考查集合的交集运算；第2题考查复数的乘法运算和复数的有关概念；第3题考查古典概型概率的求法；第4题考查余弦定理、解三角形；第5题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆离心率的求法；第6题考查三角函数的周期和函数图象的平移变换；第7题同理科第6题；第8题考查对数式的运算，对数函数、幂函数及指数函数的单调性；第9题同理科第7题；第10题同理科第9题；第11题同理科第11题；第12

4、题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立问题.其中文理科共用的函数图象题、立体几何动态探究题、文科第12题、理科第12题颇有研讨价值，下面分别解析，供研读.例1（理科第7题文科第9题）函数上的图象大致为（）6解析：利用导数研究函数上的图象，利用排除法求解.是偶函数，又，故排除设，则，又，内至少存在一个极值点，内至少存在一个极值点，排除故选点评：本题考查导数、函数的图象和性质.考查考生的识图能力，分析、解决问题的能力.例2（理科第11题文科第11题）平面过正方体的顶点，，，则所成角的正弦值为（）图1解析：如图1，过点补作一个与正方体相同棱长的正方体，易知平面为平面，

5、则所成的角为，因为为正三角形，所以，故选点评：本题考查空间几何体中线、面的位置关系，空间两直线所成的角，特殊角的三角函数等知识，意在考查考生的空间想象能力以及建模能力.例3（文科第12题）若函数上单调递增，则的取值范围是（）解析：函数上单调递增，等价于上恒成立.设6，则上恒成立，所以，解得故选点评：本题考查函数的单调性、导数的应用、二次函数与三角函数相交汇的不等式恒成立问题等知识，意在考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.例4（理科第12题）已知函数，的零点，图象的对称轴，且上单调，则的最大值为（）解析：先根据函数的零点及图象的对称轴，求出满足的关系式

6、，再根据函数上单调，则区间的长度不大于函数周期的，然后结合计算的最大值.由题意，得，，两式相减，得上单调，，即，解得若，则，此时，，上单调递增，在上单调递减，不满足条件.若，则，此时，，满足6上单调的条件.故选点评：本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力及分析解决问题的能力.二、对填空题的评析理科填空题第13题考查平面向量的模、平面向量的坐标运算；第14题考查二项式定理；第15题考查等比数列、二次函数的最值及指数函数的性质；第16题考查线性规划的实际应用.文科填空题第13题考查平面向量垂直的条件、平面向量的数量积运算；第14题考查三角恒等变换、同角三角

7、函数的基本关系式、诱导公式；第15题考查直线与圆的位置关系、圆的面积；第16题同理科第16题.其中理科第15题、文理科共用的第16题值得认真研究和品味.例5（理科第15题）设等比数列满足，则的最大值为__________________.解析：利用等比数列通项公式求出首项与公比，再将的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数的最值问题.设等比数列的公比为，则由，知又故记，结合可知，当时，有最大值6.又为增函数，从而的最大值为点评：本题考查等比数列的通项公式、二次函数的最值及指数函数的性质.考查推理论证能力及运算求解能力.例6（理科第16