特殊与一般的思想

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1、、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决

2、问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱的体积为分别是侧棱上的点，且，则四棱锥的体积为（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一　常规方法如图2-18,因为，所以将三棱柱的侧面分成面积相等的两个梯形，从而.又，且三棱柱被分成两个四棱锥与以及三棱锥三部分，所以.方法二　特殊化的方法.仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱上的两点只有的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把

3、三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点分别为的中点；也可以使点趋近于点，点趋近于点，即使，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】已知函数，若，则（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一　常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定

4、的，已知的.于是由，得.又，那么为求得的值，实际上就是求怎样用关于的解析式来表示，就是求与的关系.到此，不难发现，有，于是.方法二　一般化方法如果我们探究与的关系，产生猜想：如果是奇函数或偶函数，那么由的值求的值就会变得相当简单.具有奇偶性吗？的定义域为，关于原点对称.在定义域内任取和有.所以是定义域内的奇函数，于是.方法三　特殊化方法考虑到是选择题，是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令，则，那么.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法

5、一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数是奇函数，无论其解析式是否为，都有.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊　——　一般　——　特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现

6、出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般　——　特殊　——　一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设是等差数列的前项和，若，则（A）（B）（C）（D）分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各

7、项，自然也就求不出的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件，令，得公差，，求出，所以，选（A）.评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然的值不确定，但是由选择项可知，的值是确定的，即不因的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）A．0B．1C．3D．5（提示：取）【例5】在△中，为坐标原点，，则当△的面积达到最大值时，（A）（B）（C

8、）（D）DBAyxCoE分析：由已知，，可以把△放在平面直角坐标系中边长为的一个正方形的内部（如图），即构造