对偶问题及对偶单纯形法完整

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1、DualityTheory线性规划的对偶问题对偶问题的经济解释——影子价格对偶单纯形法第四章线性规划的对偶理论灵敏度分析对偶问题的基本性质线性规划的对偶问题DualityTheory对偶问题的经济解释——影子价格对偶单纯形法灵敏度分析对偶问题的基本性质第四章线性规划的对偶理论例如：平面中矩形的面积与周长的关系周长一定面积最大的矩形是正方形:面积一定周长最短的矩形是正方形一、对偶问题的提出对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。例1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？某企业生产甲、乙两种产品，要用A、B、C三种不同的原料。每生产1吨甲产品，需

2、耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。例1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？maxx1≥0,x2≥0s.t.x1+x2≤6z=3x1+4x2x1+2x2≤8x2≤3设xj表示第j种产品每天的产量假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂里的现有资源外售。决策者应怎样制定每种资源的收费标准才合理？例1、应怎样制定收费标准才合理？设yj表示第j种原料的收费单价分析问题：1、出让每

3、种资源的收入不能低于自己生产时的可获利润；2、定价不能太高，要使对方能够接受。把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲产品的利润：乙产品同理：把企业所有原料出让的总收入：只能在满足≥所有产品的利润的条件下,其总收入尽可能少,才能成交.s.t.一、对偶问题的提出任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性规划问题与之对应，反之亦然.把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。s.t.LP1s.t.LP2原问题（P）对偶问题（D）二、原问题与对偶问题的对应关系s.t.Ps.t.Dyj

4、表示对第j种资源的估价矩阵形式：s.t.s.t.maxz=CXs.t.AX≤bX≥0minw=bTYs.t.ATY≥CTY≥0(一)对称型对偶问题其中yi≥0（i=1,2,…,m）称为对偶变量。变量均具有非负约束，且约束条件：当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号。maxz=c1x1+c2x2+…+cnxns.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2(P)……am1x1+am2x2+…+amnxn≤bmxj≥0（j=1,2,…,n）minw=b1y1+b2y2+…+bmyms

5、.t.a11y1+a21y2+…+am1ym≥c1a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2(D)……a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cnyi≥0（i=1,2,…,m）maxz=CXs.t.AX≤bX≥0minw=bTYs.t.ATY≥CTY≥0(二)非对称型对偶问题分析：化为对称形式。maxx1≥0,x2≤0,x3无约束s.t.a11x1+a12x2+a13x3≤b1z=c1x1+c2x2+c3x3a31x1+a32x2+a33x3≥b3a21x1+a22x2+a23x3=b2令maxs.t.(二)非对称型对偶问题maxs.t.对偶变量m

6、ins.t.对偶问题：(二)非对称型对偶问题mins.t.令mins.t.mins.t.3个≥≤=约束条件变量(二)非对称型对偶问题mins.t.原问题对偶问题目标函数max目标函数min目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数3个≤≥=3个≥0≤0无符号限制约束条件变量3个≥0≤0无符号限制原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）3个≥≤=约束条件变量(一)对称型对偶问题原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）目标函数max目标函数min目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数3个≤≥=3个≥0≤0无符号限制约束条件

7、变量3个≥0≤0无符号限制s.t.s.t.2个2个二、原问题与对偶问题的对应关系例2、写出下述线性规划问题的对偶问题解：设对偶变量为maxs.t.mins.t.则对偶问题为例3、写出下述线性规划问题的对偶问题解：设对偶变量为mins.t.maxs.t.则对偶问题为练习、写出下述线性规划问题的对偶问题maxs.t.mins.t.对偶问题的基本性质DualityTheory线性规划的对偶问题对偶问题的经济解释——影子价格对偶单纯形法灵敏度分析第二章线性规划的对偶理论对偶问题的基本性质对称性弱对偶性无界性最优性原问题与对偶问题单纯形表间的性质互补松弛性强对

8、偶性对偶问题的基本性质maxz=CXs.t.AX≤bX≥0minw=bTYs.t.ATY≥CTY≥0s.t.