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1、第14卷第3期工程力学Vol.14No.31997年8月ENGINEERINGMECHANICSAug.1997X运动稳定性理论在结构动力分析中的应用沈祖炎叶继红(同济大学,上海200092)(哈尔滨建筑大学,哈尔滨150008)提要本文应用李雅普诺夫一次近似理论,推导了单自由度体系及多自由度体系的非线性动力稳定判别准则。通过典型算例比较,该准则比B-R准则更加严密,适用范围也更加广泛。关键词运动稳定理论,动力稳定判别准则,B-R准则一、引言俄国伟大数学家李雅普诺夫是第一个给出运动稳定性以精确数学定义并普遍而系统地解决了运动稳定性问题的学
2、者,他本人创立了两个方法:直接法和间接法,通常所说的运动稳定性理论,主要指的是直接法的理论。二、运动稳定性理论的简要介绍1.运动稳定问题的分类首先,按右端项是否显含t,可将一般系统分为:a1、非定常系统(非驻定系统)x=X(x,t)a2、定常系统(驻定系统)x=X(x)其次,按右端项中x1,⋯,xn的出现方式,是线性的还是非线性的函数,可将系统分类X本文收稿日期:1995年11月22工程力学为:1、线性系统;2、非线性系统。这样,得到以下四种系统的基本模型:a1、定常线性系统x=Ax(1)a2、定常非线性系统x=X(x)(2)a3、非定常
3、线性系统x=A(t)x(3)a4、非定常非线性系统x=X(x,t)(4)2.驻定系统的一次近似稳定性理论--假设驻定非线性系统(2)式的函数X(x)在域BH(BH:‖x‖≤H,H>0)内具有连续一阶偏导数5X(x)/5x,根据泰勒公式将式(2)写成a*x=Ax+X(x)(5)式中5X1(x)5X1(x)⋯5x15xn5X(x)A==⋯⋯⋯(6)5xx=05Xn(x)5Xn(x)⋯5x15xnx=0*‖X(x)‖=0(‖x‖),即当‖x‖→0时*‖X(x)‖→0(7)‖x‖方程ax=Ax(8)称为式(2)的一次近似。驻定系统的一次近似稳定性
4、理论就是要通过驻定系统的非线性微分方程(2)的一次近似来判断原方程(2)的稳定性。下面两个定理是一次近似理论的主要结论。证明过程参见文献[1]。定理1:如果一次近似式(8)的一切特征根的实部为负,则方程(2)的无扰运动是渐近稳定的。定理2:如果一次近似式(8)的特征根中至少有一个根的实部为正,则方程(2)的无扰运动是不稳定的。利用一次近似判断稳定性无须寻找李雅普诺夫函数,所以这一理论的实用价值很大。三、结构运动稳定判别准则的推导运动稳定理论认为:解决非驻定非线性系统的稳定问题是极为困难的。驻定系统具有一运动稳定性理论在结构动力分析中的应用
5、23个重要特征:它在相空间的方向场X(x)保持不变。非驻定系统就失去了这个特征,它的解的结构十分复杂,但笔者认为,可以借鉴周期系统稳定问题的解决方法,经过适当变换,将非驻定系统化为驻定系统,从而应用驻定系统的一次近似稳定性理论解决大型复杂结构的动力稳定问题。1.一次近似稳定性理论应用于运动方程在外荷载P(t)作用下,结构非线性运动方程为baMV+Fb(V)+Fk(V)=P(t)(9)a其中Fb和Fk是阻尼力和恢复力,它们是速度V和位移V的非线性函数。为了简化计算,工程上常常假定在荷载作用时间的每一微小时段内,结构质量、刚度、阻尼性质保持常
6、量不变。同理,在这一微小时段内,非驻定系统可视为驻定系统,从而下面增量形式的基本运动方程成立。baa[M]{△V(t)}+[C(V)]{△V(t)}+[K(v)]{△v(t)}=△P(t)(10)a其中[M]是结构的质量矩阵,一般假定整个运动过程中保持常量;[C(V)]、[K(v)]分别是a结构的阻尼矩阵和刚度矩阵,它们是V和V的非线性函数。通过某些具体的时间积分算法及Newton-Raphson迭代法,可求得结点位移增量(i)△V。这种结点位移的修正在迭代中一直进行到不平衡荷载和增量位移很小为止,则第t+△t时刻的位移可表示为t+△t(
7、i)t+△t(i-1)(i)V=V+△V(11)此时,在t+△t时刻,运动方程被近似满足,即t+△tb(i)t+△ta(i)t+△ta(i)t+△t(i)t+△t(i)[M]{V}+[C(V)]{V}+[K(V)]{V}=P(t+△t)(12)设满足初始条件的方程(9)的特解为*y=f(t)(13)设对这一特解的微小扰动为*y=V-y=V(t)-f(t)(14)式中V(t)为方程(9)的任一解,则V(t)=y+f(t)(15)将式(15)代入式(12),有bbaaa[M]{y+f(t)}+[C(V(t))]{y+f}+[K(V(t))]{
8、y+f(t)}=P(t)(16)因为f(t)为方程(9)特解,满足方程(9),故在t时刻,也满足近似方程(12)。因此,式(16)可化简为baa[M]y+[C(V(t))]y+[K(V(t))
