调和级数及其有关问题

《调和级数及其有关问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、卜心月以JOO侧尸J叨丈火〕的000OQ屹000吃00,况、。,氛调和级数及其有关筒磁程乃栋(淮南矿业学院)调‘十+⋯+一+⋯是数学分析中讨论得很多的一个级数,和级数它的许多重要音争介。,性质在级数收敛性理论与级数求和计算中经常用到但在一般数学分析教材中因为受到理论系,,。统性及篇幅的限制一般只在阐明某些级数收敛性理论时作为例子提到它们的某些性质本文的目的,在于将调和级数的性质集中加以考虑以期把由调和级数所能表达的级数某些性质更显著。的突出出来zz二,1.1一2一3的发散性因此如果仅保留调和级数中分母是5由于调和级数十十+一里

2、一+.+.n的倍数的那些项所得的新级数1.1.1⋯+-+⋯~1二,一一二个个一一卞5一1015。仍是发散的,,不仅如此在初等数论中利用著名的尤拉(E讯er)恒等式可以导出级数,一1十十十++二乙含音补十么一命P是素数。,‘’仍为发散的结论,:但是我们却可以证明去掉调和级数中分母含有数字5的那些项所得的新级数1.1,1.11.11,i~‘~’一’土十丁卞丁一万宁石个”十个宁“个-卞一十“丁了j厄二2西丽。是收敛的一,“”,‘乓事实上因为从1到10的所有自然数中不含数字5的数共有9个因此从1护厂到10的所有自「一.5的个数为-,~

3、,、_然数中不含数字,.+-_‘?一’驴少=8戈驴二伙个)于是,‘一‘到”一,,一若记从1010之伺不含数字另的自然羚的佩数之和为况则有n、.,、。一~。,n八_11n9:‘~‘“入”es7。一<-入丁i护声飞=。从而一:一,-.=.从而由正项级数比较判别法知级数乙S收敛且其和不超过SX一一一布蔺份80由于一个正n喇一11(,项级数若级数的项加括号以后作成的新级数收敛则原正项级数也收敛(对于任意项级数就不能随便把括号去掉了!)所以级数.1.1.1.1.、工、111一-‘十’’‘4二,卜一一下卜二一份丁丁‘一,2走药二酷刃二万才

4、汗、,。收敛设{:.、:。,又设对于每个正整数出现且仅出现在这两个}{}是两个无公共项的递增自然数列,则数列的一个之中称级数n·’·ari+arZ+ar吕+⋯十a士+.n’as一+as名+a55+⋯+a5+“为级数。al十a:十a,+⋯十a+⋯的互补子级数例如级数1‘151。。.。,。一十一十十(A)53545它与上述收敛级数_.1l1161.1.,户一3一4一.‘,一.一~.1十二++十+十月一卜“(B)Z1—4—16十-+一12一31⋯工。:就是调和级数十++⋯的互补子级数一个令人惊奇的结果是上面的那个级n。数(A)却是发

5、散的,、(翅)、(:这是因为如果级数(A)收敛财在刀)商个收敛级数中适当插人零项.0...1八。10..一二丁一.U个一卜U个个V个⋯个V卞一二个U十”勺二15...,,1泳八八,挤土l111.‘+‘。..尸卞八匕卞1十—十U十⋯十一个U宁勺4白—14并且逐项相加将得调和级数1111⋯+~+十1+⋯一二,一了十卫十—十—十Z456141516‘为收敛的结论;但这是木可能的。‘犷‘又少犷、,、对上面的结果作些比较我们就会感到调和级数的互补子级数(A)(石今虽然一个发散于+“一个是收敛的,但这种不同还是自然的。一因为级数(月)、(

6、五)虽然都是由调和级数中去掉具有某,(种性质的项后组成但级数A)它认凋和级致中丢掉真有某种性质的项后留下的项与调和级数的“项(相对于前10项讲)之比是nn1o一g91一丁二n=一气IQ玉Vn而级数(B)留下的项与调和级数的项(相对于前10项讲)之比是甘一」h一们口卜日一nU。、10、J陀二了.、一9.’通1111、-二二;一二U夕n今coIU:、”,这说明虽然纵数(刃)(B)从调和级数中去掉具有某种性质的项后仍都留有“无穷多项:,但用通常的说法是前者保留的项是与原调和级数的项数为一同阶的无穷大而后者保留的项相对于原调和级数的项

7、数讲却是一个低阶的无穷大。2.:1一21一z3调和级数的另一个重要性质是用重排的方式可以任意地减慢调和级数++++.。⋯的发散程度,因为事实上,一1二+一+,,。=1+一i23,co(,二)S十+上”一1扮净O,(n净co目一)于是对于任意给定的正项级数(收敛或发散)al+aZ+as++a。+⋯⋯如果它满足条件1>心n=1,2,º¹(⋯)八。(:,+,S一(⋯十a)十co(”斗O)。:则存在正整数使得n”1一

8、’‘·Vrl十”十Vr=十十久二个十下二一r。-乙名。,记知正项级数兄。收敛n~1二vr,++,r。=口limC⋯〕n.今00另一,方面因为1+十:r。一a:++a。,伶二介二<又(⋯)(],2.⋯(C)。一一a,。=」,lim{S(+⋯+a)}¹。n我们可v:,+⋯+vr+