论随机化算法的原理与设计

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1、论随机化算法的原理与设计上海市控江中学周咏基[关键字]随机化算法，稳定性[摘要]本文提出了一种新的解决信息学问题的算法——随机化算法，并讨论了其原理与设计方法。论文首先给出随机化算法的定义，说明了由于“运气”的影响，必须对随机化算法的稳定性进行分析。然后分“随机不影响算法的执行结果”，“随机影响执行结果的正确性”，“随机影响执行结果的优劣”三种情况，以从基本算法到竞赛试题中用随机化算法有效解决问题的例子，详细分析了三种情况的随机化算法的原理与设计方法。最后总结出随机化算法的基本原理和共同性质，提出设计随机化算法的一般方法，并指出随机化算法的适用范围和一个有效的随机化算法应具备的特点。[正文

2、]1．引论在这篇论文中，我们将研究一种新概念的算法——随机化算法。顾名思义，随机化就是指使用了随机函数。这里的随机函数不妨是BorlandPascal(或TurboPascal)中的RANDOM(N)，其返回值为[0,N-1]中的某个整数，且返回每个整数都[1]是等概率的。[2]一个含有随机函数的算法很可能受到不确定因素的支配。人们通常认为，一个受到不确定因素支配的算法肯定不是一个有效的算法——正是在这种思维方式的支配下，随机化算法一直被冷落——但是，在接下来的讨论中，我们将看到完全相反的事情发生：对于一些特定的问题，随机化算法恰恰成了十分有效的解题工具，有时甚至比一般的非随机化算法做得更

3、好。随机化算法的定义随机化算法是这样一种算法，在算法中使用了随机函数，且随机函数的返回值直接或间接地影响了算法的执行流程或执行结果。根据这个定义，并不是所有的用了随机函数的算法都可称为随机化算法。例如，某个算法包含i←RANDOM(N)，-36-IOI’99中国集训队优秀论文选论随机化算法的原理与设计但变量i除了在这里被赋予一个随机值之外，在其它地方从未出现过。显然，如果这个算法没有在其它地方用过随机函数，上面这条语句就无法影响执行的流程或结果，这个算法就不能称为随机化算法。另一方面，若一个算法是随机化算法，则它执行的流程或结果就会受其中使用的随机函数的影响。我们按影响的性质和程度分三种情

4、况：1．随机不影响执行结果。这时，随机必然影响了执行的流程，其效应多表现为算法的时间效率的波动。2．随机影响执行结果的正确性。在这种情况中，原问题要求我们求出某个[3]可行解，或者原问题为判定性问题，随机的效应表现为执行得到正确解的概率。3．随机影响执行结果的优劣。这时，随机的效应表现为实际执行结果与理论上的最优解或期望结果的差异。第2，3种情况中，随机的影响还可能伴随有对执行流程的影响。我们后面的讨论就分这三种情况进行。在讨论之前，我们还要澄清一个问题。随机化和“运气”由于随机化算法的执行情况受到不确定因素的支配，因此即使同一个算法在多次执行中用同样的输入，其执行情况也会不同，至少略有差

5、异。差异表现为出解速度快慢，解正确与否，解的优劣等等。例如：一个随机化算法可能在两次执行中，前一次得到的解较优，后一次的较劣。现在的问题是：在大多情况中，尤其是竞赛时，对于同样的输入，只允许程序运行一次，根据运行结果判定算法的好坏。如此一来，我们就会把出劣解的一次运行归咎于运气不佳，反之亦然。然而，比赛比的是谁的算法更有效，而不是谁的运气更好。既然我们使用了随机函数，我们就无法摆脱运气的影响，所以我们的目标是尽量将运气的影响降到最低。也就是说，我们必须使算法的执行情况较为稳定。因此，在接下来的对算法的分析中，我们将从以下四方面分析算法的性能。1．时间效率；2．解的正确性；3．解的优劣程度(

6、解与最优解的接近程度)；4．稳定性，即算法对同样的输入的执行情况的变化。变化越小则越稳定。非随机化算法的稳定性为100%，随机化算法的稳定性属于区间(0%,100%)。通常，只要算法的程序实现所用的空间不超过内存限制，我们就不必刻意提高算法的空间效率，所以我们省去了空间效率这项分析。上面第4项的“稳定性”可以是算法的平均时间复杂度，也可以是执行算法得到正确解的概率，还可以是实际解达到某一优劣程度的概率。“稳定性”这一项是评判随机化算法好坏的一个重要指标。2．执行结果确定的随机化算法在这一节中，我们以快速排序和它的随机化版本为例，讨论执行结果确定的随机化算法。根据引言中的分析，一个随机化算法

7、的执行结果确定，则它的执行流程必会受随机的影响，影响多表现在算法的时间效率上。所以在下面的讨论中，我们省去了对算法执行结果正确性和优劣的分析。快速排序算法IOI’99中国集训队优秀论文选-37-论随机化算法的原理与设计快速排序是一种我们常用的排序方法，它的基本思想是递归式的：将待排序的一组数划分为两部分，前一部分的每个数不大于后一部分的每个数，然后继续分别对这两部分作划分，直到待划分的那部分数只含一个数为止。算法可由以下