Notes on Linear Algebra

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1、教学笔记线性代数四川大学数学学院NotesonLinearAlgebraMathematicalCollege,SichuanUniversity目录第一章多项式11.1整数环Z..............................11.2数域................................21.3一元多项式............................31.3.1定义与运算........................31.3.2最大公因式........................31.3.3不可约多项式.........

2、..............41.3.4重因式...........................51.3.5多项式函数、根、代数基本定理............61.3.6有理数域上的不可约多项式...............71.4多元多项式............................81.4.1基本概念.........................81.4.2对称多项式........................9第二章线性方程组112.1高斯消元法............................11iii目录第一章多项式1.1

3、整数环Z•基本概念因子(factorsordivisors);素数(primenumbers);整除,公因数,最大公因数,互素.•整除的基本性质命题1.1.1∑s(i)如果abi,i=1;···;s,则对任意ci∈Z都有acibi.i=1(ii)如果ab,bc,那么ac.(iii)如果ab且ba,那么a=±b.•带余除法命题1.1.2设a;b∈Z,b̸=0.则存在唯一的q;r∈Z满足:a=bq+r且0≤r

4、在u;v∈Z使得ua+vb=(a;b).12第一章多项式推论1.1.2∑s(i)设a1;···;as∈Z不全为0.则存在u1;···;us∈Z使得uiai=i=1(a1;···;as).(ii)设a;b∈Z不全为0.则(a;b)=1当且仅当存在u;v∈Z使得ua+vb=1.(iii)设a1;···;as∈Z不全为0.则a1;···;as互素的充分必要条件是,∑s存在u1;···;us∈Z使得uiai=1.i=1(iv)设ac,bc且(a;b)=1.则abc.(v)设p是素数且pa1a2···as,其中aj∈Z.则存在k使得pak.•算术基本定理定理1.1.2任意大

5、于1的整数都可以分解为有限多个素数的乘积.进一步,如果a=p1···ps=q1···qt,其中,pi;qj是素数,那么,s=t,且,通过适当调整顺序,有pi=qi.注1.1.1设a∈Z且a>1.则a有标准分解式:a=pr1pr2···prm,其12m中,p1,···,pm是互不相同的素数,rj≥1.•关于素数(i)定理1.1.3(Euclid).有无穷多个素数.(ii)⋆素数定理:(n)≈n,其中,(n)是不超过n的素数的个数.lnn1.2数域•定义;常见的数域:Q,R,C.√•例子:Q(2);Q().•Q是最小的数域.1.3一元多项式3•子域,扩域.例1.

6、2.1证明:Q(i)={a+bia;b∈Q}是包含i的最小数域,其中i2=−1.1.3一元多项式1.3.1定义与运算•数域F上的一元多项式的定义;两个多项式“相等”的含义;首项(leadingterm),次数,F[x].•F[x]上的运算及满足的运算律;消去律;乘法与次数的关系.•整除及基本性质(完全类似于整数的整除性质)•带余除法命题1.3.1设f(x);g(x)∈F[x]且g(x)̸=0.则,存在唯一的q(x);r(x)∈F[x]使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),其中,r(x)=0或@r(x)<@g(x).称上述q(x)为g(x)除f(x)的商,r(x

7、)为g(x)除f(x)的余式.推论1.3.1设f(x);g(x)∈F[x]且g(x)̸=0.则,g(x)f(x)当且仅当g(x)除f(x)的余式为0.注1.3.1整除关系不依赖于数域.1.3.2最大公因式•因式;最大公因式;记号:(f(x);g(x));互素•求(f(x);g(x))4第一章多项式引理1.3.1设f(x)=g(x)q(x)+r(x),f;g不全为0.则(f(x);g(x))=(g(x);r(x)).命题1.3.2(辗转除法).设f(x);g(x)∈F[x]且不全为0.则存在u(x);v(x)∈F[x]使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x

8、);g(x