A200707-1128

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1、http://www.paper.edu.cn直角三角形a2+b2=c2整数解的定a公式直求法庄严1庄宏飞2辽阳铁路器材厂辽宁辽阳（111000）Email：zy1818sd@sina.com摘要：在直角三角形边长a、b、c关系中，利用a、b边条件求得第三边，这是人们的普遍做法。定a公式直求法的发现打破了人们的传统认识。利用定a公式直求法，在a、b、c三边关系中，只要给定一个a值整数，就可求得与a边对应另两边b、c的全部整解关系。这种通过直接定a计算就得到三元二次方程a2+b2=c2有理数解的方法简单方便，易教

2、易学，具有特殊的实用价值和理论义意。关键词:平方整数解定a公式直求法；增元求解法；中国图书资料分类号：012文献标识码：A文章编号：1.引言a2+b2=c2的整数解性质，在2000多年前就已被发现。计算直角三角型形边长关系的勾股弦定理（或称毕达哥拉斯定理），体现了古代劳动人民的聪明智慧。近代有关费马大定理的的研究，也大多从a2+b2=c2关系入手。现今求算平方整数解的传统理论，是古希腊数学家丢番图（Diophantna）给出的ab法：即当x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2时，可构造出x2+y2=z2整解

3、关系[1]。这里的平方整数解的求算受a、b两个条件制约，定值实践起来非常困难。定a公式直求法，为平方整数解问题带来了新思维。2．推验前人的研究成果；直角三角形a2+b2=c2整数解的a值奇、偶数列定理是平方整数解性质研究重要成果之一，a值奇数列定理由古希腊毕达哥拉斯学派（约公元前550年）给出[2]；a值偶数列定理古希腊学者柏拉图（Plato,约前427－前347）给出[3]。2.1定理1直角三角形a2+b2=c2整数解的a值奇数列定理：定理1.若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3…），则存在如下a、b、c平

4、方整数解关系：a=2n+1{b=n2+（n+1）2-1c=n2+（n+1）2证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立，将a值奇数列条件代入勾股弦定理得到下式：（2n+1）2+（n2+（n+1）2-1）2=（n2+（n+1）2）2化简后得到如下等式：4n4+8n3+8n2+4n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1所以a值奇数列定理成立利用a值奇数列定理当a=3、5、7、9、11、13…时可得到如下平方整数解关系；32+42=5252+122=13272+242=25211.引

5、言2.1定理1直角三角形a+b=c整数解的a值奇数列定理http://www.paper.edu.cn92+402=412112+602=612132+842=852…2.2定理2.直角三角形a2+b2=c2整数解的a值偶数列定理：定理2.若a表为2n型奇数（n=2、3、4…），则存在如下a、b、c平方整数解关系：a=2n{b=n2-1c=n2+1证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立，将a值偶数列条件代入勾股弦定理得到下式：（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2化简后

6、得到如下等式：n4+2n2+1=n4+2n2+1（这里需要说明，当取n=1时，有b=n2–1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）所以a值奇数列定理成立利用a值奇数列定理当取a=4、6、8、10、12、14…时可得到如下平方整数解关系；42+32=5262+82=10282+152=172102+242=262122+352=372142+482=502…由前人给出的公式，我们能够由每个对应a值求得一组平方整数解，但它的另一层意义启发我们，平方整数解可以定a直求。所以,如何连续求得互素平方

7、整数解，如何连续求得含a全部平方整数解，如何求得含a高精度平方解，将变为我们的研究目标。2223.直角三角形边长a+b=c整数解“定差公式法”3a+2c+n=a1（这里n=b-a之差，n=1、2、3…）（1）定理3．若直角三角形a2+b2=c2是满足b-a=n关系的互素整数解，那么，利用以上3a+2c+n=a1公式连求得到的a1、a2…ai所组成的平方数组a12+b12=c12、a22+b22=c22…ai2+bi2=ci2都是具有b-a=n之定差关系的互素整数解；证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到3

8、2+42=52，这里n=b-a=4-3=1，根据3a+2c+1=a1定差公式法有：a1=3×3+2×5+1=20这时得到202+212=292继续利用公式计算得到：a2=3×20+2×29+1=119这时得到1192+1202=1692继续利用公式计算得到：23.直角三角形边长a+b=c整数解“定差公式法”2.2定理2.直角三角形a+b=c整数解的a值偶数列定理：http://www.