全国希望杯竞赛模拟试题（三）

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1、源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc题21若，且，则的最小值是.（第一届高二第一试第20题）解法1比较：当时，，当且仅当时取等号.可见，，当且仅当时取等号..解法2.令且，即，即.可证函数在上单调递减，时，.即当时，.解法3令，则（当且仅当时取等号）.又.由，易得（当且仅当时取等号）.于是（时取等号）.故当，即时，-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc.评析解法1的依据就是课

2、本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于、时，，当且仅当时取等号，所以解法2将展开成后，只能对使用上述公式（因为，所以必须使时取等号）.若也对使用上述公式就错了，因为由，得，此时与并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.与不可能相等时，通常运用函数的单调性求的最小值（易证函数在上单调减，在上单调增）.解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用.拓

3、展命题“若且，则”可作如下推广：推广1若且则.证明，当且仅当时取等号..又在及上都是减函数，当且仅当-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc时取等号.（当且仅当时取等号）.推广2若，，则.推广3若，，则.推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略.题22已知，且，则的最小值是.(第八届高二培训填空题第6题)解法1..当且仅当时取等号..解法2=9，当且仅当，即时取等号..解法3，当且仅当，即时取等号..评析求条件最值离不开利用条件.如何利用条

4、件？解法1把展开后将用1代，解法2与3将与中的1用代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展此题可作如下推广：推广1若，且，则的最小值是.-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc证明，于是，，当且仅当时取等号，的最小值是.推广2若，且，则的最小值是.证明，，.同理.故，当且仅当时取等号.的最小值是.推广3若，且，则的最小值是.证明由均值不等式得，,从而-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://w

5、ww.xjktyg.com/wxc，当且仅当时取等号.故的最小值是.推广4若，且，则的最小值为.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习：1、已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.2、已知，且，求的最小值.3、已知，且，求的最小值.4、求的最小值.(提示：，原式.)5、已知，且，求-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc的最小值.答案：1、（1）18（2）（3）92、643、4、95、题23

6、设，且，则的最大值是，最小值是．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）解法1，，．由，有，．记，立得和．故当或时，，当时，．解法2由题意，设．则，当且仅当且，即时取等号．．又．令，则．易知当时，．此时，，即或时，．关于的最大值，还有下列解法．解法3，-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc，当且仅当时取等号．．解法4，．又，当且仅当时取等号．故.评析解法2由考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式及，再由，

7、分别求出与的最大值（注意：必须是与取相同值时与同时取得最大值），从而得到的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将变形为，并由已知得出，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数适合条件，则函数的值域是．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为）拓展由题引伸，可以得到：定理1设，则（1）当时，；（2）当时，．证明设，则．又设，-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp:

8、//www.xjktyg.com/wxc，则．1、当，即时，（1），当且仅当时取等号．（2），当且仅当时取等号．2、当，即时（1）当时，．（2）当时，．又函数，当时是减函数，故．综上所述，当时，；当时，．进一步引伸，可得定理2，若，则（1）当时，；（2）当时，．-26-源头学子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc简证．令，再由定理1即可得证．再引伸，还可得到定理3设，且，则有证明及平均值不等式题24若，则的最大值是