初等数学-几何1

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1、初等数学研究——几何(一)目录几何部分（一）专题一初等几何研究3一、欧几里德《几何原本》3二、罗巴切夫斯基几何模型3三、黎曼几何6四、希尔伯特的《几何基础》7五、笛卡尔《方法论》9六、中学中的解析几何9专题二三角形的五心12一、三角形的重心及重心定理12二、三角形外心及外心定理14三、三角形垂心及垂心定理16四、三角形内心及内心定理18五、三角形旁心及旁心定理20专题三等腰三角形23专题四直角三角形31一、三角形的基本性质（按使用的频率排列）31二、习题34专题五圆38专题六九点圆和拿破仑三角形50

2、一、九点圆的历史背景50二、九点圆定理50三、拿破仑三角形的历史背景51四、拿破仑三角形的定义51五、拿破仑三角形的推广53专题七正多边形57一、正多边形的定义及性质57二、正多边形的面积公式59三、正多边形的内角和59四、正多边形内一点到各顶点之和极值的问题59五、正多边形与外接圆60专题八几何定值63一、线段长度为定值63二、线段的长度和、倒数和为定值.64三、线段长度的积为定值65四、线段长度的比为定值66五、角的度数为定值66六、面积为定值67专题九几何最值定值及不等式69专题十解析法解平面

3、几何问题73专题十一三角法解平面几何问题81专题十二平面几何问题的复数或向量解法84一﹑常用的公式和结论84二﹑基本思想84I初等数学研究——几何(一)三﹑实例85四﹑小结89专题十三几何中的计数问题（组合几何）90一、数线段90二、数三角形、四边形等几何图形91三、数角93四、几何作图与填充染色等问题93I专题五圆专题一初等几何研究初等几何研究的对象：图形的大小,形状，及位置关系一、欧几里德《几何原本》欧几里德在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的，温良敦厚的教育家，。他酷爱

4、数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著---《几何原本》第五公设：《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长

5、后在这一侧一定相交。第五公设又称平行公设，可以导出如下结论：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？　到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道

6、，这其实就是数学中的反证法。　　但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：　　第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何"。这是第一个被提出的非欧几何学。二、罗巴切夫斯基几何模型1.在平面几何中，三角形的内角之和等于180°DA证法一：过A

7、点做BC的平行线，记为AD∵AD∥BCCB∴∠CAB+∠BAD+ACB=180°∠DAB=∠ABC∴∠ACB+∠ABC+∠CAB=180°证法二：根据所学的内角和公式（n-2）×180°DBA证法三：∵∠ACD是△ABC的外角∴∠ACD=∠BAC+∠B41专题五圆∵∠ACD+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°FEDCBCA证法四：∵∠FAB=∠ABC+∠ACB∠ACD=∠BAC+∠ABC∠EBC=∠BAC+∠ACB∴∠FAB+∠ACD+∠EBC=2∠ABC+2∠ACB+2∠BAC∵外

8、角和为360°∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°证法五：将三个一样大小的三角形在三个对应角的位置上,分别标上三个字母A,B,C.然后将第一个三角形的A角,第二个三角形的B角,第三个三角形的C角,拼在一起,这时它们的下边(或上边)就正好形成一条直线.即三个角形成了一个平角.就是说三个角的度数和是一百八十度.而这三个角是三角形的三个内角.2.在球面上，球面三角形的内角和不为180°证明：我们看一个例子如图，设点A表示地球的北极，LA为赤道，点B，C是赤道LA上的两点