第03章习题解答

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1、习题3参考解答3.1设在一线性系统上加一个正弦输入：gxy(,)cos[2π()xy]，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。解：系统的输入是11i2π()xyxi2π()ygxy(,)cos[2π()xy]ee22因为要求输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数，可用gxy(,)表示它，gxy(,)(,)cos[2(Axy)(,)]11i(,)i2π()xyxi(,)i2π()

2、yAA(,)ee(,)ee22式中：A(,)和(,)均为实函数，分别表示正弦输出频率有关的振幅和相移。令：i(,)HA(,)(,)e11i2π()xyx*i2π()y则有：gxy(,)H(,)eH(,)e。用算符L{}表示系统的作用，即：22Lgxy{(,)}gxy(,)，则系统输入、输出的正频分量应满足下列关系：i2π()xyxi2π()yLH{e}(,)e即：i2π()i2π()xyhxy(,;,)e

3、ddH(,)ei2π()xy式中，h为系统的脉冲响应。等两端同乘以e并对,取积分，等式左端得到：i2π()i2π()xyhxy(,;,)eddeddi2π[(xy)()]hxy(,;,)ddeddhxy(,;,)(x,y)ddhxyxy(,;,)等式右端得到：i2π()xyi2π()xyi2π[(xxy)()]HH(,)eedd

4、(,)eddh(xx,yy)由此可知，系统应该是空间不变的线性系统，其空间不变的脉冲响应满足：1hxyxy(,;,)(hxxyy,)H(,)正是系统的传递函数，它是脉冲响应的傅里叶变换，HF(,){(hxx,yy)}对于这样的空间不变的线性系统，若输入一个正弦函数，会得到一个空间频率相同的正弦输出，其振幅和相移分别由系统传递函数的模和幅角表示，即gxy(,)(,)cos[2Aπ()xy(,)]3.2证明零阶贝塞尔函数J(2πr)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不

5、变系统的本征函数。00对应的本征值是什么？证明：把J(2πr)作为输入函数，施加到一个用脉冲响应hr()和传递函数H()所表征的系00系统上。输出可以写成：gr()H()*()hr0因此，输出频谱等于()()00GH()()H()02π2π00对上式作傅里叶逆变换，可得：gr()H()J(2πr)000于是可以看出，J(2πr)是一个本征函数，相应的本征值等于传递函数在的值。0003.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章所提出的关于系统的定义。试问：(a)这个系统是线

6、性的吗？(b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？答：(a)我们把系统广义地定义为一个变换，由于傅里叶变换算符可以看成是函数到其变换式的变换，因而可把它看作系统。即可以用系统的算符表示傅里叶变换：Lgxy{(,)}Fgxy{(,)}2由傅里叶变换的线性定理可得：Fgxy{(,)hxy(,)}Fgxy{(,)}Fhxy{(,)}即：Lgxy{(,)hxy(,)}Lgxy{(,)}Lhxy{(,)}对所有的输入函数gxy(,)和hxy(,)以及所有复数常数,，系统满

7、足上述迭加性质，因而是线性的。(b)设系统的输入为gxy(,)，输出为G(,)。由傅里叶变换定义i2π()xyGg(,)(,)exyxddy若写成线性系统叠加积分的形式，则有：Gg(,)(,)(,;,)ddxyhxyxyi2π()xy其中hxy(,;,)e，它表示输出平面点上对输入平面位于(,)xy点处函数输入的响应，称为系统的脉冲响应。显然hxy(,;,)h(x;y)即脉冲响应h并不依赖于距离之差x和y，系统是“空间变”的。仅仅对于空间不变的线性系统，其在频

8、域的作用才可以用系统的传递函数表示。而对于“空间变”系统，则不能给出表征系统作用的传统函数。3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布Uxy(,)，其空间频率含量是