第16章 质点动力学

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1、第第1166章章质质点点动动力力学学1工程力学学习指导第16章质点动力学质点动力学研究作用于质点上的力和质点运动之间的关系。本章研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程和简单的振动问题。16.1教学要求与学习目标1.根据给出的条件，会灵活列写不同形式的运动微分方程，并给出对应的初始条件。2.能够正确应用质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程，解决质点动力学的两类问题。3.学会计算描述弹簧质量系统特性的物理量。4.学会将简单的刚体系统简化为单自由度的弹簧－质量系统，能够正确计算等效质量与等效刚度。16.2理论要点16.2.1牛顿第二定律牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点

2、上力系的合力，即maFF=Σ=iR它是解决质点动力学的基础。16.2.2质点运动微分方程根据牛顿第二定律，质点在惯性系中的运动微分方程有以下几种形式：1.矢量形式用r表示质点的位矢，则质点的运动微分方程为2ndrm2=∑Fidti=1应用矢量形式的微分方程进行理论分析非常方便，但求解一些具体问题有时很困难，而且所得到的解答的物理意义也不很明显。因此，多数问题的求解仍2需要根据具体问题，选择其他合适坐标系。2.直角坐标形式根据矢量方程，在选定的直角坐标系上投影，可得到直角坐标形式的质点运动微分方程n⎫m"x"=∑Fix⎪i⎪n⎪m"y"=∑Fiy⎬i⎪n⎪m"z"=∑Fiz⎪i⎭直角坐

3、标形式的运动微分方程，原则上适用于所有问题，但对某些问题，仍有不方便之处。例如，质点沿球面或柱面运动，用直角坐标就不如用球坐标或柱坐标方便。3.自然坐标形式图16-1自然轴系当点的运动轨迹已知时，在点上建立由切线、主法线、副法线组成的自然坐标系（图16-1），将矢量方程投影到自然坐标系上，可得到自然坐标形式的运动微分方程：n⎫ms""=∑Fit⎪i⎪2n⎪⎪s"mF=∑in⎬ρi⎪n⎪oF=∑ib⎪i⎪⎭22sv"式中，""s=at为质点的切向加速度;==an为质点的法向加速度;ρ为运ρρ3动轨迹的曲率半径；力FFF、、为作用在质点上的力F在自然坐标轴方向上iiitnbi的分量。除了

4、以上几种常用的质点运动微分方程外，根据质点的运动特点，还可以选用柱坐标、球坐标等形式的运动微分方程。正确分析运动特点，选择一组合适的微分方程，会使求解问题的过程大为简化。16.2.3质点运动微分方程的应用运用质点运动微分方程，可解决质点动力学两类问题，即1)已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常是未知的约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。2)已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分过程，或称求解微分方程的过程。对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题，对于这种问题一般首先解除约束以相应的约束力代替，根据已知的主动力及运动初始条件，求解质

5、点的运动规律；然后在运动确定的条件下再求解未知约束力，约束力一般包括静约束力和附加动约束力两部分。利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时，视问题的性质，可采用两种分离变量的方法对微分方程进行积分，即dva=tdt或2ddvv⎛⎞av==⎜⎟tdd2ss⎝⎠质点的运动规律还取决于初始条件，利用运动的初始条件，可确定积分的下限或不定积分的积分常数。视问题的性质，也可用解微分方程的方法求解。16.2.4非惯性系中的质点运动微分方程图16-2位于定系和动系的质点1)质点相对运动动力学基本方程4图16-2所示坐标系Oxyz为惯性参考系（即定系），O′x′y′z′为非惯性参考系（即动系），质量

6、为m的质点M为动点。设质点在两个坐标系中的加速度分别为绝对加速度aa、相对加速度ar。质点M在惯性系下的运动，由牛顿第二定律有ma=FaR根据加速度合成定理aaaa=++aerC式中，a为质点的牵连加速度；a为质点的科氏加速度。将此式代入牛顿第二eC定律，得m()aaaF++=erCR或mmaFaa=−−mrReC记F=−ma,IeeF=−mmav=−2ω×ICCr式中，F称为牵连惯性力；F称为科氏惯性力；ω与v分别是非惯性系的角IeICr速度与质点的相对速度。2)质点在非惯性系中的运动微分方程maFFF=++rRIeIC或2dr′m=++FFF2RIeICdt这一方程称为质点相对运

7、动动力学基本方程，方程中r′为质点在动系中的位矢。16.2.5单自由度系统振动模型的建立等效质量和等效刚度确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标，所以空间自由质点有三个自由度。所谓自由度是指确定质点系位置的独立坐标数。这里所说的独立5坐标是广义的，即可以是直角坐标，也可以是转角等其他可以定位的参数。单自由度系统，即仅用一个坐标便可定位的系统。在不考虑阻尼的情形下，单自由度线性系统的振动微分方程一般可以表示为mxkx""+=0eqeq式中，meq和ke