小应变大位移大转角梁单元刚度矩阵推导及程序验证

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1、http://www.paper.edu.cn小应变大位移大转角梁单元刚度矩阵推导及程序验证谭美超武汉大学土木建筑工程学院，湖北武汉430072E-mail：dollar_meichao@163.com摘要：本文推导出了小应变大位移大转角梁单元刚度矩阵，突破了单元小变形的限制，使其o能适应于任意大位移和小于360的转动，并验证了其有效性。关键词：梁单元，刚度矩阵，大位移大转角中国分类号：TU311.411引言[1][2]文献在推导梁单元几何非线性下的单元刚度时，使用了和小变形梁单元相同的形函数，形函数中隐含了对单元转动很小的假定，因此虽然推导中使用了大变形理论，却难以达到大转

2、动的要求。[1]文献对2节点大挠度平面梁单元进行推导，其形函数为：图12节点平面梁单元''X2'X2'1-6(1)(1)(13)X6(1)(23)X22N=LL(1)232220132L(1)0(32)L(1)其中：为等参参数（在节点1处为0，在节点2处为1）。单元的运动描述为：''uNd=(2)其中：'''''''d[UV,,,UV,,]为单元杆端的自由度。111222'以上运动描述与小变形下Euler梁单元描述完全相同，其中引用了截面转角v（vcc是单元中心线沿'X轴的位移）

3、的假定，这一关系在单元挠度比较大时会有较大的误差。2考虑一刚体运动模式，取'd[0,0,,(cos()1),sin(),]LL，从式（1）和（2）中得到单元中心线（'X0）的运动为：2'u=L(cos1)c(3)'2v=L((1)(12)(32)sin)c单元发生刚体运动时'v=Lsin，由上式知在c0时才逼近于这一结果。因此在发生刚体运动时，单元的应变并不为零。取单元长度为1，单元转角为30°，单元中心线上十等分点的轴向应变分别为：图22节点梁单元的运动-1-http://www.paper.edu.cn0.0121

4、，0.0055，0.0005，-0.0030，-0.0051，-0.0058，-0.0051，-0.0030，0.0005，0.0055，0.0121由此知，这种形式的形函数不能正确地表达结构的大转动。本文推导了小应变下大位移大转角的单元刚度矩阵，突破了单元小变形的限制，使其能o适应于任意大位移和小于360的转动，通过编制的程序和ANSYS分析结果比较，说明了其推导的合理性。2基本假定2.1小应变假定梁单元受力后可发生任意大的位移或转动，但应变为小应变，故本构关系可通过推广线弹性本构关系得到(分别用PK2应力和Green应变代替线弹性本构关系的应力和应变)。2.2平截面假定梁

5、单元在变形过程中，横截面保持为平面，这使得能由梁轴线的运动来描述梁整体的运动。结合小应变假定，梁横截面上的正应力为线性分布。2.3忽略横向应力只考虑横截面上的正应力和两个方向的剪应力。3剪切应变能的处理梁单元剪应力的分布是不均匀的，而平截面假定隐含截面剪应力均匀分布，单位长度剪切应变能等于剪力Q在平均剪应变γ（=Q/GA）上做的功除截面剪应力不均匀系数。这种处理使得剪切应变能的计算简单而通用。本文讨论的两节点梁单元中，横截面上剪应力分布是线性的，因此常数项即为平均剪应力，应变的一次项可以忽略而得到简化，剪应力不均匀系数同惯性矩参数一样是线单元的基本参数，它的引入使得在计算单元

6、刚度并对横截面积分时能得到一个统一的参数化的表达式，同一单元不同截面的差异性完全由剪应力不均匀系数、横截面积等参数表达了，因此能方便地应用于不同的截面形式。4单元构型和运动的描述[3]以下推导采用文献中使用的位移插值形式，它能精确描述结构的大位移和大转动，由[4][3]于转动部分和线位移部分独立插值，很易于采用Timosheko梁理论。文献文献的基础上考虑了截面的翘曲变形，其单元构形描述为：xˆ(,SS)x()SfSS()n()SwS()(S)()tS（3）其中：x()S—单元中心线的位置n()S—单元横截面上两正交的单位向量t()S—单元横截面法向的单位向

7、量wS()—翘曲量4.1形函数-2-http://www.paper.edu.cnTCTTXXN(X)NN=111(4)111LL004.2形心的位置cccx(X)xx112cccCv(X)=vvN(X)(5)1121sc(X)scsc1124.3截面上任意点的位置cccx(XXX,,)x(X)Xv(X)Xs(X)(6)12312131ccccccCx(XXX1,2,3)x1x2X2v1v2X3s1s2