固结系数为非常数时的砂井固结方程差分解

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1、http://www.paper.edu.cn固结系数为非常数时的砂井固结方程差分解程江涛，刘莉中国地质大学(武汉)工程学院，武汉（430074）E-mail：cjtlaotou@163.com摘要:砂井主要用以增加饱和软土排水途径，使地基在荷载下加速固结。目前对砂井地基排水固结问题多采用常固结系数的太沙基—伦杜立克理论，然而软土属于高压缩性土，随着软土被压密，孔隙比将会发生较大变化，土的性质也会随之发生变化，因此，软土固结系数的变化不容忽视。基于以上考虑，根据固结系数为非常数时的太沙基—伦杜立克方程，采用(Crank—Nicolson)六点对称差分格

2、式对其初始条件和边界条件进行有限差分离散，建立了有限差分方程组。在此基础上，运用Matlab编制了砂井固结方程差分程序，并以佛山市和顺—北潜公路干线软基处理为例，研究了其在不同荷载不同时间段的孔隙水压力以及固结度的变化。关键词:砂井；固结方程；固结系数；固结度；孔隙水压力；有限差分法1.引言砂井主要用以增加饱和软土的排水途径，使地基在荷载下加速固结。砂井问题属于空间问题，其变形属性（1～3维)取决于荷载的分布形式，而其中渗流属于三维问题，与荷载分布无关。要较为精确的分析砂井地基的固结，必须考虑荷载的分布和渗流的空间属性。然而，要得到这样的解答是极其困难

3、的。为得到简单实用的解答，通常假设变形只发生在竖向，而渗流呈空间轴对称性，从而将整个砂井地基的固结问题转化为单井固结问题。[1],[2]目前对砂井地基的排水固结问题多采用固结系数为常数的太沙基—伦杜立克理论，然而软土属于高压缩性土，随着软土压密，孔隙比将会发生较大变化，土的性质也会随之发生变化，因此，软土固结系数的变化不容忽视。基于以上考虑，本文针对固结系数为非常数[3],[4]时的太沙基—伦杜立克方程，采用(Crank—Nicolson)六点对称差分格式对其初始条件和边界条件进行了有限差分离散，建立了有限差分方程组。在此基础上，运用Matlab编制了

4、砂井固结方程差分程序，并以佛山市和顺—北潜公路干线软基处理为例，研究了其在不同荷载不同时间段的孔隙水压力以及固结度的变化。2.太沙基—伦杜立克方程差分格式2.1太沙基—伦杜立克方程假设土体只发生竖向变形，径向渗流，瞬时加载下的径向固结方程式为:2∂u1∂u∂urrrC(+)=（1）h2∂rr∂r∂t式中:C—径向固结系数，为有效应力的函数:hC=constant（2.a）hC=ασ′+β（2.b）hvvC=C(σ′)（2.c）hv求解条件为：1.u=u（3.a）rt=0r0-1-http://www.paper.edu.cn2.u=u（3.b）rr=r

5、rww∂ur3.=0（3.c）∂rr=rh式中：u为t=0时，仅考虑径向渗流时，地基中任一点孔压:u为仅考虑径向渗流时，0rw砂井内任一点孔压。2.2径向固结方程差分格式[5],[6]径向固结方程差分解的基本思想是将土层划分为n个土层，将固结过程划分为m个微小的时间段（见图1），在每个时间段内认为固结系数不变。具体步骤如下：rerir1r2ri-1rirn-1rnr0123int12t23t3tj-1jtjtn-1mtnt图1差分网格的划分（1）将单层土划分为足够多相同厚度的子层，每个子层厚度足够小，如果砂井影响半径为r，划分子层数为n，则子层厚度为r

6、/n，这样就建立了成层系统。取砂井边缘为坐we标r原点并以该原点到土层顶面和底面的垂直距离分别为r和r;有r=0；i−1i0r=i⋅H/n,i=1,2,L,n;r=r。ine（2）把固结过程划分为足够多的微小时段，任意时间段用j来表示，其相应的时间间j隔∆tj=tj−tj−1，tj=∑∆tk。k=1由于新建立的土层厚度和时间间隔非常微小，所以在任意一时间段内土层的固结系数可j−1以认为是一常量，在∆t的固结过程中采用t时刻的固结系数C。而且荷载虽然可能随jj−1h时间变化，但是在任意一微小的时间段内可以将荷载视为常量。采用(Crank—Nicolson

7、)六点对称有限差分格式求解方程(1)jj−1jjjj−1j−1j−1u−u(u−2u+u+u−2u+u)r(i)r(i)j−1r(i+1)r(i)r(i−1)r(i+1)r(i)r(i−1)=Ch(i)2∆t2(∆r)j−1j−11ur(i+1)−ur(i−1)+i∆r2∆r（4）-2-http://www.paper.edu.cn整理得:j−1jj−1jj−1jλCu−(2λC+2)u+λCu=h(i)r(i+1)h(i)r(i)h(i)r(i−1)j−1λCj−1j−1j−1j−1h(i)−λCh(i)(ur(i+1)−2ur(i)+ur(i−1)

8、)−式(4)中，∆r为空间步长;∆t为时ij−1j−1j−1(u−u)−2ur(i+1)r(i