2-3-倒易点阵

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1、第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1附数学补充：傅里叶变换•数学上：任何周期函数均可表示为一组三角函数或傅里叶级数的叠加：1.三角函数形式∞m2πxm2πxf(x)=a0+∑amcos+bmsinm=1llf(x+l)=f(x)1l/22l/2m2πxdxa=f(x)cosa=f(x)dxm∫0l∫−l/2l−l/2l2l/2m2πxb=f(x)sindxm∫l−l/2l2.复数形式∞m2πxif(x)=∑celmm=

2、1f(x+l)=f(x)m2πx1l/2−ic=f(x)eldxm∫l−l/2•物理意义：任何复杂周期振动均可分解为不同频率的谐振2的无限叠加；人耳；无线电学。倒易基矢设晶体点阵的三个基矢用a、a、a表示，那么定义该晶体的123倒易点阵的三个基矢为：a×a23b1=2πa⋅(a×a)123a×a31b2=2πa⋅(a×a)123a×a12b3=2πa⋅(a×a)123b、b、b称为倒易基矢。由b、b、b线性组合构成的空间称123123为倒易空间或倒空间。定义了倒空间之后，人们

3、常常把a、a、12a线性组合构成的晶体空间称为正空间。a、a、a称为正空间31233基矢。倒格矢由倒易基矢b、b、b定义倒易空间的矢量可以表示为：123G=nb+nb+nbn112233n、n、n为整数，矢量G称为倒易矢量或倒格矢。矢量G端123nn点的集合构成倒易点阵或称倒格子。相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。显然，倒易点阵也具有平移不变性，Gn为倒空间的平移矢量。我们知道，正点阵的原胞体积Va为：V=a⋅(a×a)a123类似地，我们倒易基矢b、b、b构成的平行六面体称为倒点阵123的原胞。其体积用V

4、表示bV=b(b×b)4•b123例：简单立方点阵的倒格子仍为简单立方简单立方的点阵为的基矢定义为：a=aia=aja=ak1233i、j、k为正交的单位矢量，原胞的体积为:a⋅(a×a)=a123则倒易基矢为：a2×a32π22π2π2πb1=2π=3ai=ib2=jb3=ka1⋅(a2×a3)aaaa所以简单立方点阵的倒格子仍为简单立方，晶格常数为2π/a。体心立方点阵的倒格子为面心立方面心立方点阵的倒格子为体心立方5倒点阵性质I.正倒点阵的基矢互相正交，即：

5、a⋅b=2πδb1•a2=b1•a3=b2•a1=b2•a3=b3•a1=b3•a2=0iiijb•a=b•a=b•a=2π112233且任意正、倒格矢满足关系：R⋅G=2πmm为整数ln证明正格矢：R=la+la+lal112233倒格矢的定义式，即满足此式的矢量G必倒格矢：G=nb+nb+nbnn112233为倒格矢。R⋅G=(la+la+la)⋅(nb+nb+nb)ln112233112233=2π(ln+ln+ln)=2πm6112233II.倒点阵原胞

6、的体积反比于正点阵原胞体积3(2π)V=bVa证明：2π3Vb=b1•(b2×b3)=()(a2×a3)⋅[(a3×a1)×(a1×a2)]Va2π3=()(a×a)⋅{[(a×a)⋅a]a−[(a×a)⋅a]a}2331213112Va2π33(2π)=()[(a3×a1)⋅a2]⋅[(a2×a3)⋅a1]=VaVaA⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)其中利用矢量公式：A×(B×C)=(A⋅C)B−(A⋅B)C7III.正点阵是它本

7、身倒点阵的倒点阵IV.倒点阵保留了正点阵的全部对称性−1G⋅R=2πmG⋅gR=2πmnlnl−1−1g(G⋅gR)=gG⋅ggR=gG⋅R=2πmnlnlnlg为一对称操作，g-1为其逆操作。V.正点阵的一组晶面(n1n2n3)垂直于倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3且晶面间距dn1n2n3=2πGn8证明：根据晶面指数定义，(nnn)该组晶面中最靠近原点的晶面与123坐标轴a、a、a交点的位矢：123aaaOA=1OB=2OC=3nnn123(n1n2n3)晶面上两条相交直线AB和ACa

8、/n的位矢：33BA=a1-a2CA=a1-a3n1n2n1n3a2/n2a/naa11BA⋅Gn=(1-2)⋅(nb+nb+nb3)nn1122312=a⋅b−a⋅b=0同理：1122CA⋅Gn=0所以倒格矢G垂直晶面(nnn）。设晶面法线方向单位矢量为e