欧拉多面体公式

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1、多面体欧拉公式的历史、建立过程和方法古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。在很长的历史时期里,这个问题没有解决。后来,人们逐渐认识到,依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算,这个问题难以解决,而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手,有可能获得成功。1639年,笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采用不完全归纳法,猜测到:顶点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也就是:V+F-E=2。后来,他又用一些简

2、单的多面体来验证自己的猜想,但是没有给出严格的证明,也没有发表。1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣,是要用它来做多面体的分类。[1]但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n边形的内角和为,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。那么，推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢?欧拉就这样由类比提出了问题。欧拉证明如下：一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每个顶点处,有一个由

3、相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角。欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为）及所有立体角之和(记为),看它们是否有某种简单的性质。欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。(1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。(2)四面体退化成一个平面凸四边形和它的两条对角线(图3)。对于情形(1)(图2),三角形三边处的二面角皆为0，内部三条线

4、段处的二面角皆为，所以.三角形三个顶点处立体角皆为,内部顶点处的立体角等于2(即半个单位球面的面积,球面面积为),所以。对于情形(2)(图3),四边形四条边处的二面角皆为O,两条对角线处的二面角皆为,所以.四个顶点处的立体角皆为0,所以.可见四面体的二面角之和与立体角之和都与四面体的形状有关,没有类似于三角形内角和定理这样简单的性质.多么令人失望啊,然而欧拉并没有就此止步,因为还有面角和尚未考察呢.记多面体的面角和为,欧拉先考察四面体.四面体由四个三角形围成,所有面角之和,与四面体的形状无关.这个结果对欧拉是一个鼓舞.继续考察五面体.五面体(一)(图4)由两个三角形和三个四边形

5、围成,所有面角之和五面体(二)(图5)由一个四边形和四个三角形围成,所有面角之和这两个不等,说明面角和不能简单地由面的个数来决定.欧拉接着又考察了几个多面体,看能不能从中发现什么规律?立方体(图6)由六个正方形围成,所有面角之和正八面体(图7)由八个三角形围成,所有面角之和五棱柱(图8)由两个凸五边形和五个平行四边形围成,所有面角之和尖顶塔形(图9)是在立方体上加一个四棱锥,由五个正方形和四个三角形围成,所有面角之和从上述数据能发现什么规律吗?欧拉发现虽然它们都不相等,但都小于（此处V是多面体的顶点数),且与的差是一个常数。将观察所得材料进行归纳,寻找和发现规律,决不是一种简单

6、的一眼就能看出的事情,在这里,如何进行归纳是能否发现规律的关键.欧拉把观察所得面角和与ZV二进行比较,表现了非凡的创造性,导致了发现.欧拉认为上述结果不像是偶然的巧合,因为在考察的多面体中,既有规则的(例如立方体、正四面体和正八面体)也有不规则的(例如五面体(一)和(二))以及五棱柱和尖顶塔形.于是欧猜想:对于任意凸多面体有(1)即多面体的面角和由它的顶点数完全决定.注意,这只是一个猜想.欧拉接着又考察了一些多面体,结果可以列成下表.所得结果均支持上述猜想，这些虽然增加了猜想成立的可能性，但欧拉明白这还不是对一般情形的证明。接下来,欧拉从另一角度计算多面体的面角和.设多面体各个

7、面多边形的边数分别为此处F是多面体的面的个数.于是乏其中。是多面体所有F个面多边形的边数的总和.在这个总和中,多面体的每一条棱恰好被计算了两次(因为每一条棱都是相邻两个面的公共边).设多面体的棱数为E,于是有。因此得到(2)即多面体的面角和由它的棱数和面数完全决定.注意,关系式(2)是经过证明得到的结论,而不是猜想.欧拉综合了猜想(1)和事实(2)(从这两个式子中消去)得到V-E+F=2（3)因此(3)仍然是一个猜想,尚需要证明.上述发现公式(3)的过程,基本上是按照欧拉关于这个问题的一篇论