初等数论(严蔚敏版) 12.4 雅克比符号

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1、第四节Jacobi符号•从上两节的计算过程中,可以看出,勒让德符号的缺点在于计算其值时,要求符号下方是奇质数,在需要运用二次互反律时,还必须先判断符号上方是不是质数,假如是合数还要把其化为标准形式,而这些又都没有一般的方法,为此我们引入如下的符号.定义给定正奇数m1,mppp,其中p(1ik)是奇素数,12kiaaaa对于任意的整数a,定义()()()(),mppp12kaa其中右端的()(1ik)是Legendre符号,称()是Jacobi符号.pmi如m45335,则25122222()()()()()(-1)81,4533553

2、15128282828352()()()()()(-1)22()()1.45335533注意(1)当m是奇素数时,Jacobi符号就是Legendre符号.2a(2)当m是奇素数时,若xa(modm)有解,则()1.ma2但当m不是奇素数时,若()1,则方程xa(modm)不一定有解.m52如()1,但方程x5(mod9)无解;9这就是说,Jacobi符号不能用于判断对应的同余方程是否有解,这是它与Legendre符号的重要区别.2(3)若mppp,方程xa(modm)有解,则对每个p,12ki2aaaa方程xa(modp)有解,()(

3、)()()1111,imppp12k2a即方程xa(modm)有解()1.反之不成立;ma2(4)若()-1方程xa(modm)无解.m定理1下列结论成立,使用定义中的符号aa1(1)若aa(modm),则()();1mm1(2)()1;maaaaaa12t12t(3)对于任意整数a,a,,a有()()()();12tmmmm2abb(4)对于任意整数a,b,(a,m)1,则()().mm证明:(1)aa(modm),mppp,112kaa(modp)(1ik),1iaaaaaaaa1111()()()()

4、()()()();mppppppm12k12k21(2)同余方程x1(modm)总有解,如x1,()1;maaaaaaaaaaaa12t12t12t12t(3)()()()()mppp12kaaaaaa1t1t1t()()()()()()pppppp1122kkaaa12t()()();mmm2abaabb(4)()()()()().mmmmm引理设a1(modm),1ik,aaaa,i12ka-1a-1a-1a-112k则(modm).mmmm证明:a1(modm),a1bm,1ik,bZ,ii

5、iia-1aaa-1(1bm)(1bm)(1bm)-112k12k2m(bbb)mA,其中AZ,12ka-1a-1a-1a-112kbbb(modm).12kmmmm定理2设mppp是奇数,其中p,p,,p是素数,则12k12km-1-1(1)()(-1)2;m2m12(2)()(-1)8.mkp11p21pk1-1-1证明:(1)()()(1)222,mpi1ip11p21pk1m-1由引理得(1)222(-1)2;222kp11p21pk122(2)(

6、)()(1)888mpi1i2m1(-1)8.定理3m-1n1nm设m,n是大于1的奇整数,则()(-1)22().mnmn证明:(1)若(m,n)1,则()()0成立.nm(2)若(m,n)1,令mppp,nqqq,p,q(1ik,1js)12k12sij都是素数,且(p,q)1,ijkkskspi1qj1nnqp则()()(j)(-1)22(i)mi1pii1j1pii1j1qjkspi1qj1ks22pi1j1i(-1)(),qi1j1jkspi1qj1kpi1

7、sqj1由引理知2222i1j1i1j1m1n1m1n1(2N)(2N)2N,122222m-1n1ksm-1n1npm()(-1)22(i)(-1)22().mqni1j1j注意•(1)以上表明,雅可比符号保留了上节介绍的勒让德符号的所有性质,由于雅可比符号并不要求下方为质数,也不需要求标准分解式,因此,计算雅可比符号比计算勒让德符号更方便.•(2)因此,我们计算勒让德符号时,可以先把它看作是雅可比符号来计算,以方便计算.2例1已知3371是素数,判