一维问题有限元

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1、第二章一维问题有限元1、一维拉压杆的线性有限元分析(1)单元刚度矩阵的建立(2)结构刚度矩阵的建立(3)边界条件的处理(4)结构平衡方程的求解2、线性单元的精度分析3、一维问题等参元和数值积分4、平面弯曲梁单元5、桁架结构有限元分析6、刚架结构有限元分析1、一维拉压杆的线性有限元分析（1）单元刚度矩阵的建立对于下图所示拉压杆问题，按照有限元的思想，首先把结构划分为为有限个互不重叠的单元p(x)单元(Element)结点(Node)按如上划分，结构被划分为5个单元，有6个结点，有限元通过分析单元特性，再组集结构特性。（1）单元刚度矩阵的

2、建立(a)单元位移场分析ij假设单元内位移场为线性的ua+ax01上式中x分别取i和j结点的坐标，可得a+axu01xxii1xaui0ia+a01xxxjuj1xja1uja01xjxiuia1xjxi11uj(a)单元位移场分析a01xjxiuia1xjxi11uj将广义坐标代入位移表达式，可得11ua+ax(xuxu)+(uu)x01jiijjixxxxjiji11(x

3、x)u+(xx)uNu+Nujiijiijjxxxxjiji(a)单元位移场分析11u(xx)u+(xx)uNu+Nujiijiijjxxxxjiji其中：Ni和Nj称为为形函数(ShapeFunctions)1N(xx)ijxxji1N(xx)jixxji形函数或称为插值函数在有限元分析中有着重要意义，它确定了单元位移的形式。(a)单元位移场分析1N(xx)ij形函数具有如下性质xjxiN1(xx)性质1：jxxijiN(xx)1N(xx)0iij

4、iN(xx)d;jiijN(xx)0N(xx)1ijjj11NNijxixjxixj(a)单元位移场分析1N(xx)ijxxji性质2：N(x)N(x)1j+iN1(xx)jixxjiN(x)N(x)ji性质3：+0xx性质4：插值函数无量纲，且坐标平移不影响形函数的形式。若取x=0，x=L，插值函数为：ijxxN(1);NijLL(b)变形场分析xxN(1);NijLL根据应变位移关系，可得u1e(Nu+Nu)(uu)iijjjixxL也可采用矩

5、阵形式表示：uieu(x)Nuii+NujjNiNjuNδ}j其中[N]称为插值函数矩阵：NNiNjeui{d}e称为结点位移列阵：δ}uj(b)变形场分析u1e(Nu+Nu)(uu)iijjjixxLu11uieeBd}xLLuj上式中[B]称为几何矩阵，或应变矩阵。111B11LLL(c)单元平衡分析拉压杆总势能的计算表达式为：21LuLEAdxpu(x)dx2

6、0x0对于线性单元，根据前面所做分析，可知应变能为：21Lu1LEA2VeEAdx2ujui}dx20x20LEA2EA22ujui}(uj2uuji+u)i2L2L(c)单元平衡分析21Lu1LEA2VeEAdx2ujui}dx20x20L外力势能为：EA2EA22ujui}(uj2uuji+u)i2L2LLLVP0pu(x)dx0pN(x)uii+N(x)udxjj}eeFuFuiijjL其中：eFpN(x)dxi0iL

7、eFpN(x)dxjj0(c)单元平衡分析对于均布载荷，等效结点力为eLLxpLFpN(x)dxp(1)dxi0i0L2eLLxpLFpN(x)dxpdxjj00L2(c)单元平衡分析21Lu1LEA2VeEAdx2ujui}dx单元的总势能为：20x20LEA2EA22ujui}(uj2uuji+u)iV+V2L2LePLLVP0pu(x)dx0pN(x)uii+N(x)udxjj}将应变能和外力势能eeFuFuiijj代入上式

8、，可得EA22ee(u2uu+u)FuFujjiiiijj2L(c)单元平衡分析EA22ee(u2uu+u)FuFujjiiiijj2L根据最小势能原理，单元平衡的条件为0EAe(uu)