轻松学习正交小波变换

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1、第3章小波变换3.5正交小波变换2通常，离散小波框架通常不是LR()的正交基，其信息量存在冗余。由前面我们已经知道，若小波函数的伸缩平移系{ψjk,()t}是j,kZ∈正交系，就可得到无冗余的小波框架，这正是数据压缩和数值计算中所希望的。JPEG2000标准的建立是在数据压缩中应用正交小波变换的结果；而在数值计算中，正交小波变换被应用与矩阵向量积乘法的加速运算和矩阵方程的快速求解之中。这里来看如何构成这样的小波？3.5.1正交小波变换的定义2设ψ()tLR∈()是一个可容许小波，若其二进伸缩平移系

2、j−−jψ()tt=−22,2ψ()k,jk∈Z，jk,2构成LR()的标准正交基，则称ψ(t)为正交小波，而相应的离散小波变换Wjfj(,,k)=ft()ψ,k(t)为正交小波变换。gHaarWaveletBasis这里是一个典型的正交小波例子。Haarmotherscalingfunction,is1第3章小波变换⎧10≤

3、ingfunctionsfromthemotherscalingfunction:k−2−khtkn,,()==φkn()t2htnkn()2−,,∈z2第3章小波变换Haar小波函数不连续，且它的频谱表达式为iω−2−iω12−+eeH()ω=，ωi1所以它随ω的衰减速度仅为，不能满足对基的光滑性要求，频阈ω的局域性也差，多用于理论研究。3.5.2Shannon小波的构造对于连续依赖于时间的信号f(t)进行抽样，可以得到其样值序列{fk()Δ}，假如我们对f(t)的频谱F(ω)加上限制(限带信号

4、)：kz∈Fi(ωω)=≥0,fB3第3章小波变换π则根据通讯理论中著名的Shannon定理，只要取样间隔Δ≤时，由B样值序列{fk(Δ)}可以唯一确定信号f(t)：kz∈πsin()tk−ΔΔft()=Δ∑fk()，（1）πkz∈()tk−ΔΔ则离散函数序列{fk()Δ}可以完全确定原来的连续函数f(t)。kz∈令B=π，Δ=1，则频谱为π有限的全体函数组成线性空间^V00=={ftF()()ω⎡⎤⎣⎦ft()=,ωπ≥}2这里V0是LR()的一个子空间，这时前面（1）式成为sinπ(tk−)f

5、t()=∑fk()kz∈π()tk−（2）sinπt显然，可以由ϕ()t=的平移系得到如下的函数系列πt⎧⎪sinπ(tk−)⎫⎪{}ϕ()tk−=kz∈⎨⎬，⎩⎭⎪π()tk−⎪kz∈考虑ϕ()t的Fourier变换⎧≤⎪1,ωπΦ=()ω⎨⎪⎩0,otherwise故，利用Parseval等式可得：πsinππ()tm−−sin()tn1⎧1,mn=−−imωωin∫∫dt==eedω⎨ππ()tm−−()tn2π⎩0,mn≠R−π故，{ϕ()tk−}构成V0的标准正交基。kz∈4第3章小波变

6、换对于V0中的函数f()t作如下变换：f()tf→(2t)，则相应的有^VVftF0-→=1{}()()ω=⎡⎤⎣⎦ft()=0,2ωπ≥，{}ϕϕ()tk−→−{(2tk)}。kz∈kz∈设⎧⎪sinπ(2tk−)⎫⎪{}22ϕ()tk−=⎨2⎬kz∈⎪⎩⎭π()2tk−⎪，kz∈可以证明，上面的函数系{22ϕ()tk−}构成空间V-1的kz∈标准正交基。π1对于任何f()tV∈−1，因为B=2,πΔ==，按照B2Shannon定理有1⎛⎞kf()tft=−∑⎜⎟22ϕ()k。kz∈2⎝⎠2对一

7、般情况，对V0中函数作如下变换⎛⎞tf()tf→∈⎜⎟,jzj，⎝⎠2相应地5第3章小波变换⎧⎫^πVVftF0j→=⎨⎬()()ωω=⎡⎤⎣⎦ft()=0,≥j⎩⎭2此时函数系⎧⎫jj⎧−j−⎫−−22−j⎪sinπ(2tk)⎪⎨⎬22ϕ()tk−=⎨2⎬⎩⎭π()2−jtk−kz∈⎪⎩⎭⎪kz∈构成了Vj的一组标准正交基，对于任何f(tV)∈j，有jj⎛⎞k−−jf()tf=⋅∑2222⎜⎟ϕ()2t−kj，（3）kz∈⎝⎠2由前面Vk的定义有：⋅⋅⋅⊆VVVV1012⊆⊆−−⊆⋅⋅⋅∩Vj=

8、{0,}jz∈2∪VLRj={}。jz∈2对于以上子空间的并集为LR()可作如下理解：2考虑f()tLR∈{}，f(t)的傅立叶变换为：FF()ω==∑∑()ωχωjj()F(ω)jz∈∈jz6第3章小波变换⎛⎞ππ这里χj(ω)为在区间⎜j+1,j⎟的特征函数，也就是⎝22⎠⎧ππ⎪1,≤<ωχω()=⎨jj+1j22⎪⎩0,otherwise因为Fj(ω)的傅立叶逆变换可以写为fj(tV)∈j，所以有f(tf)=∑j(t),（4）jz∈2这就是∪VLRj={}的含义。jz∈考虑