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1、§6.5线性子空间§6.5线性子空间一、子空间的定义及判别二、子空间的构成第六章线性空间一、子空间的定义及判别定义1：设W是线性空间V的一个非空子集，如果W中元素对于V的加法和数乘也作为F上的线性空间，则称W是V的一个子空间。2例6.5.1：Wa=∈{(,0)aF}，Wb=∈{(0,)bF}都是F的12子空间。零空间{0},V本身也是线性空间V的子空间，通常把它们称为平凡子空间，V中其他子空间称之为真子空间。由定义知，要判别数域F上线性空间V的一个非空子集W是不是V的子空间，既要验证W中任两个元素的和以及F中任一数与W中任一向量的数乘是否封闭，
2、还要验证加法是否满足四条运算律，数乘是否满足四条运算律。实际上是否要这样做呢？第六章线性空间定理6.5.1：设W是线性空间V的非空子集，W作为V的一个子空间的充要条件是：对∀α,,β∈∀Wk∈F，必有α+βα,kW∈证明：必要性显然。下证充分性。若对∀∈α,,βWk∀∈F，必有α+βα,.kW∈由于W中向量必是V中向量，故对∀α,,βγ∈∈Wk,,lF1）α+=ββ+α,2）()α+βγ+=α+(β+γ),3）取kk=⇒0,α=θ∈WstWα+θα=∀,α∈4）取kk=−1,⇒α=−α∈WstWα+()−=αθ,∀α∈5）kk()α+=βα+k
3、β,6）()kl+α=+kααl,7）kl()α=(kl)α,8）1.α=α这就完成定理的证明。第六章线性空间推论：数域F上线性空间V的一个非空子集W作为V的子空间的充要条件是对W中任意向量α,β及F中任意数kl,，都有klα+β∈W。充分性：对∀α,,β∈∀Wk,l∈F,有klα+β∈W取kl==1,1⇒+αβ∈W;取kl=1,=0⇒∈kWα.第六章线性空间二、子空间的构成先考虑V中一组向量的所有可能的线性组合是不是V的子空间。设V是数域F上的线性空间，α12,,αα?,n是V中一组向量，考虑α,,αα?,的一切线性组合kkα+αα++?k的
4、全体12n1122nn所成的集合，这个集合是非空的，且该集合中元素对加法和数乘是封闭的，因而它是V的一个子空间，这个子空间是由向量组α12,,αα?,n生成的子空间。记为L(α12,,αα?,n)Lk()αα12,,??,αnn=={αα1α1+k2α2++kαn,ki∈F}向量α12,,αα?,n称为L(α12,,αα?,n)的生成元。第六章线性空间V中任一组向量α12,,αα?,n可生成V的一个子空间，那么V中任一个子空间是否一定可由一组向量生成？对有限维线性空间V，答案是肯定的。设W是有限维空间V的子空间，则W也是有限维的。设α12,,α
5、α?,n是Ｗ的一个基。由于Ｗ中任一向量可由这个基线性表示，故有WL=(α12,,αα?,n)n例6.5.2求线性空间F生成元并表示之。n解：F的一个生成元是：ε12,,εε?,nnFL=(ε12,,εε?,n)例6.5.4求线性空间F[]x生成元并表示之。nn−1解：F[]xn的一个生成元是：1,xx,?,n−1Fx[]=L(1,x,?,x)第六章线性空间n生成元与由它生成的子空间有以下关系：定理6.5.2LL(α12,,αα??,rs)=()β1,β2,,β的充要条件是：α12,,αα?,r与β12,,ββ?,s等价。L(α12,,αα?,r
6、)的维数等于向量组α12,,αα?,r的秩。证明：若LL(α12,,αα??,rs)=(β1,β2,,β)因为α∈L(ββ,,?),故αi可由β1,,?βs线性表示，ir=1,?,is1同理β,,?β中每个向量可由α,,?α线性表示，故1s1rα1,,?αr与β1,,?βs等价。反之，若α1,,?αr与β1,,?βs等价。对∀∈αL(αα1,,?r)α可由β,,?β表示，即LL(α11,,??αβrs)⊂(,,β)。同理1sLL()ββ11,,??sr⊂(α,,α),故LL(α11,,??αβrs)=(,,β)第六章线性空间设α12,,αα?,
7、r的秩为s，ααii12,,?,αis(sr≤)是它的一个极大线性无关组，由上面知LL(α11,,??ααri)=(,αi2,,αis)因为dim{Ls(αii1,?,αs)}=,所以dim{Ls(α1,?,αr)}=由这个定理知，只要子空间L(,α1?,αr)不是零空间，则总可以找出一组线性无关的向量，使之由这组极大线性无关组生成。特别地当α12,,αα?,n是线性空间V的一个基时，总有VL=(α12,,αα?,n)。第六章线性空间定理6.5.3：设W是数域F上n维线性空间V的一个m维子空间，α12,,αα?,m是W的一个基，则α12,,αα
8、?,m可扩充为整个空间V的基，即可在V中找出nm−向量：αmn+1,,?α，使α,,??,αα,,,α成为V的一个基。11mm+n证明：（对维数差nm
