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《多小波与平衡多小波的理论和设计Ξ》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第18卷 小波专刊工 程 数 学 学 报Vol.18No.52001年12月Dec.2001JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号:100523085(2001)0520105212X多小波与平衡多小波的理论和设计崔丽鸿, 程正兴(西安交通大学理学院,西安710049)摘 要:多小波成为研究的热点,部分原因是因为它可同时拥有正交对称和紧支撑性质。然而在应用于实际进行离散多小波变换的实现时,必须对它进行具体的预滤波,这一过程有时会破坏所设计的多小波已有的重要性质。为弥补这一缺陷,平衡多小波被引入,这种多小波在进行信号处理时可以不需要进行预
2、滤波,且显示良好的应用前景。为了更好的理解和应用它,本文对平衡多小波理论研究予以综述,并展望它今后的发展。关键词:平衡;多滤波器;多小波;预滤波分类号:AMS(2000)42C40;65T60中图分类号:O174.2文献标识码:A1 引 言近年来,伴随着GHM多小波的成功构造,多小波———这一小波家族中诞生的一颗璀璨的明星,已构成小波理论的新篇章,且以其独有的魅力吸引并引起了来自数学界,工程界及诸多方面的科学家及研究者们的浓厚兴趣(见文[1～3])。多小波之所以受到世人瞩目,主要原因是它既保持了单小波的诸多优点,又克服了单小波的缺陷,在实际应用中可以把十分重要的光滑性
3、、紧支性、对撑性等完美地结合在一起。众所周知,在图象处理的应用中,正交性能保持能量;对称性(线性相位)既适合于人眼的视觉系统,又使信号在边界易于处理;紧支撑的小波对应的滤波器是有限脉冲响应(FIR)的滤波器,使得相应的快速小波变换的和是有限的和。小波的光滑性在数据压缩中也起着重要作用,如一幅图象,当用作小波变换的小波不是光滑的,则小波变换所带来的误差很容易从视觉中检查出来。因而,构造同时具有如上优良性质的小波是小波理论研究者所追寻的目标之一。已有的成果说明多小波具有这种特性。然而,理论上完美的多小波在实际应用中仍存在很多问题,如对信号处理需首先进行预滤波,而预滤波又会
4、破坏所设计的多小波的特性等。这为多小波的成功应用带来巨大难题。为了解决这一难题,迄今已有许多作者对此进行了研究,并给出了相应的预滤波设[4～6]计。在解决这一问题的过程中,值得一提的是Lebrun和Veteerli提出了平衡多小波这X收稿日期:2001209215.作者简介:崔丽鸿(1965年生),女,博士生,副教授.研究方向:主要从事小波分析及信号处理的研究工作.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.106工 程 数 学 学 报 第18卷一新的理论,并给
5、出许多很好的结果。这种多小波在应用于信号处理时可以避免预滤波。[7～10][11]随后Seiesnick也对平衡作了大量的研究工作。而Jiang给出了r=2时平衡多小波的完备的参数化设计方法。这些结果为多小波的构造提供了较好的准则,使得有可能根据实际的情况设计出具有某种特性的多小波等。本文对有关平衡多小波的理论,设计及构造予以综述。文章首先简要介绍了多小波及对应的多滤波带的基本概念及性质,并回顾了多小波的构造方法;接着简述了在实现多小波变换时所出现的问题及现存的预滤波设计方法;然后阐述了平衡多小波的理论,设计和构造;最后对平衡多小波的进一步研究给予展望。2 多小波和多
6、滤波带多小波的基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间,扩展为由多个尺度函数生成,以此来获得更大的自由度。因而,与单小波不同,多小波基由多个小波母函数经过伸缩平移生成,对应的有多个尺度函数,而在单小波中仅有一个。T具体地,多小波由如下多分辨分析(MRA)生成,设函数Φ=(<1,<2,⋯,7、f(·)∈VjZf(2·)∈Vj+1;5°{
