生活与生产中的变分法与应用

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1、生活与生产中的变分法与应用摘要变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。本文对变分法的理论及其应用进行分析。关键词：变分法；应用；泛函目录摘要1一、变分法概述3（一）泛函及其极值3（二）泛函极值的必要条件-欧拉方程8（三）含有多个宗量泛函的极值问题14（四）泛函的条件极值16二、线性二次型最优控制问题21（一）问题概述21

2、（二）问题描述21三、一种基于总体变分的自适应图像去噪方法23（一）总体变分自适应图像去噪模型23（二）数值计算方法与实验结果251.数值计算方法252.实验结果分析26四、变分法在物理学中的应用27结语30参考文献30一、变分法概述研究功能极值的数学方法是变分法（Variationalcalculus），，就在几何和力学领域在17世纪末陆续提出了一些功能极值问题（最陡降线问题，最小旋转面问题等）形成和发展了变分方法。在本章中，我们介绍变分方法及其在最优控制中的应用。（一）泛函及其极值给出泛函的定义是最

3、先要做的定义1.1设为一函数的集合，若对于每一个函数，都有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集合，称为宗量。例1对于平面上过定点和的每一条光滑曲线，绕轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线的泛函，容许函数集合可表示为.三个性能指标1）麦耶（Mayer）型性能指标就是终端型性能指标的别称，2）拉格郎日（Lagrange）型性能指标又被叫做积分型性能指标，3）包尔查（Bolza）型性能指标也可以说是混合型性能指标，他们同为泛函数，且都是相关的引进新的函数，它是如下微分方程初值问题的

4、解则拉格郎日（Lagrange）型性能指标就化为，变成麦耶（Mayer）型性能指标。引进函数，我们有，作为已知的函数，可以忽略，拉格郎日（Lagrange）型性能指标就是通过将麦耶（Mayer）型性能指标转的。所以说这三种函数都是能够进行代表的定义宗量的距离，是我们进行函数的连续性验证的时候必须要进行的定义1.2设，对他们之间的距离进行定义其中。上面提到的距离的定义，描述两个函数之间接近程度通过的一种描述，要求两个函数值的坐标非常相近，要求俩函数值的坐标以及一阶导数都要改相近才能使。这样看来后一个函数比

5、前一个函数更将接近。意思是两个函数有K的接近值。宗量的-邻域用表示，即定义1.3设是定义在上的泛函，如果对于任给的，都可以找到，使得当时，就有，则称泛函在处是k阶接近的连续泛函。定义1.4设是定义在上的泛函，如果对任何常数都有，则称是上的线性泛函。泛函的变化受到宗量的影响，是两个宗量之间的差，泛函数的增加量是增量的线性如同函数的微分是主部一样，泛函的增量的线性是泛函的变分的主部，既有定义1.5设是定义在上的泛函，一旦有的线性泛函，使得，其中是的高阶无穷小量，即当时有，我们称为泛函的变分（variatio

6、n），记作。函数的微分概念的推广就是泛函的变分。它可以表为对参数的导数，是因为泛函的变分的一个重要形式是，即有，这是因为如果变分存在，则增量，根据和的性质有，，所以定义1.6设是定义在上的泛函，，若对任意一个都有.则称为的绝对是极小值（最小值）。或者说在能算出其极小值，称为的极值曲线。如果有正数，能够使其都某一个都有.的强相对极小值是在取到的，或者说在取得强相对极小值，的强相对极小值曲线是建立在上。若存在正数，能够使其都某一个都有.的弱相对极小值是在则称取到的，或者说在取得弱相对极小值，的弱相对极小值曲

7、线建立在上。绝对极大值、强相对极大值和弱相对极大值我们都可以这样对其进行定义的定义1.7设是定义在上的泛函，，能够使其都某一个都有则称为的绝对极大值（最大值）。若存在正数，使得对任意一个都有.则称为的强相对极大值。若存在正数，使得对任意一个都有.则称为的弱相对极大值。由于具有一阶接近度的两个函数必须具有零阶接近度，如果没有这样的条件就不成立，，因此泛函是的强相对极值，那么它必然是相对极端弱。相反可能并非如此。由此我们可以看到，功能弱相对极端的必要条件必定是它们强相对极端的必要条件。反过来，强大的相对极值

8、功能的必要条件并不一定是其弱相对极值的必要条件。因此，在讨论未来的功能极端条件时，我们总是设置-邻居级别。例2设泛函.试证明函数泛函的弱相对极小值曲线是，但不是泛函的强相对极小值曲线。证明显然。设为任意一个小于1的正数，为的一级-邻域，为中不同于的曲线，则时，，从而，且只有时，才有。这表明泛函在处达到弱相对极小值。设为的零级级-邻域，显然，对于任给，只要充分大，就有，但是，当充分大时（），有.在泛函数处没有达到强相对极小值。不难得知，泛函极