游戏中的数学——论博饼中的概率

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1、游戏中的数学——论博饼中的概率厦门外国语学校高一（13）班17号林宇辉一．引言：对于闽南的人们来说，每逢中秋佳节，家人团聚之时，便会举行一种名为“博饼”的十分有趣的游戏。这小小的博饼游戏，却包含着关系到随机变量的神奇规律和排列组合规律的奥秘。在下面，我们就将对这个问题进行深入的探讨。二．博饼规则：博饼开始时由参加游戏的人围成一桌（3~12人，以十人最佳）（准备：桌上摆一个瓷碗，六个骰子并放上相应的礼品。）从指定的一个人开始，按照逆时针的方向，每个人每次把6个骰子一起投进大碗里，并查看骰子投出的结果，对照规则表，根据所指定的规则获得相应的礼品（月饼，日常生活用品等）。之后众人依

2、次轮流投骰子（一次六个），直到所有礼品被博完并结束当前的一轮，则视为游戏结束。传统对应规则：投骰子结果与礼品的对应为1.有1个“四点”的得一秀饼(秀才)。拿完为止。共32个。2.有2个“四点”的得二举饼(举人)。拿完为止。共16个。3.有4个相同点数的（红四除外）得四进饼(进士)。拿完为止。共8个。4.有3个“四点”的得三红饼。共4个。5.若骰子点数分别为1至6组合的得对堂饼(榜眼，探花)。共2个。6.若是有4个“四点”，或是有5个相同点数，5个“四点”，若是6个“四点”，4个“四点”加上2个“一点”，都是状元，且等级依次升高，得状元饼。共1个。对应规则和名称如图示：注意事项

3、：1.当出现大于等于两个“状元”的时候，等级大的获得状元2.同是四红比较所带的点数纸盒的大小，大者等级大。3.同是五子，先比较相同数字的大小，再比较所带数字的大小。4.同是五红，比较所带数字的大小。5.出现完全相同的状元时，先博得者等级大。6.如博到状元插金花可兼得两个对堂。7.在同一场比赛中，同一选手两次或两次以上博到状元，取其最后一次的成绩为最终成绩。8.若出现六个相同的数字，皆有特殊情况出现（在此不给予讨论）9.如果骰子跳出瓷碗，则该选手本轮成绩无效且要轮空一次。10.若对堂（2个）或三红（4个）已经被人拿完，再有人博到，则此人按游戏进行的反方向，向离自己最近的一个对堂

4、（三红）持有者拿回奖品。（即游戏结束前博到的“三红”“对堂”都有可能被“抢”走）·以上将博饼基本游戏规则描述完毕。三．论证准备：在正常情况下，我们无法控制自己投出骰子的轨道。因此，我们无法控制自己投出骰子的结果，即每次投骰子博得的结果是随机的。又因为每个骰子的六个面朝上的几率都是相同的，所以我们要研究的是一个古典概率模型的问题。面对这一类问题，我们可以使用随机变量进行分析。(设投骰的结果为X，讨论X符合耕种情况的概率)假设和定义：（1）按照骰子面朝上图案中的点数，分别将每个骰子得到的结果对应为随机变量：“”=1；“”=2；“”=3；“”=4；“”=5；“”=6；（2）为了表达

5、方便明了，分别将六个骰子设为“第一个骰子”，“第二个骰子”，“第三个骰子”，“第四个骰子”，“第五个骰子”，“第六个骰子”。并分别用变量a,b,c,d,e,f依次表示每个骰子投得的结果（即a表示第一个骰子投得的点数，以此类推）（3）将每次六个骰子投得的结果，分别对应为一个六维向量（a,b,c,d,e,f）。因此，每次投得的结果都有一个六维向量与之一一对应，即X=（a,b,c,d,e,f）（4）每个骰子投得一个确定的点数，共有6种可能，所以总共的结果有=46656种可能。为了描述清晰，设每个“基本事件”出现的概率为P(“基本事件”)=ε即ε=（5）在论证中会出现分步计算。即可能

6、出现第一步：讨论在不考虑顺序的情况下特征数出现的概率；第二步：讨论有几种顺序可能；其中“特征数”指：决定投骰结果的关键数字“不考虑顺序”指：在指定骰子号数的情况下，计算出现“特征数”，满足得奖条件的概率“指定骰子号数”指：规定出现“特征数”的骰子的编号“顺序可能”指：总共存在几种“指定骰子号数”组合的可能*全文中若不做特殊说明，取“骰子投出的数”，a,b,c,d,e,f,u,w,x,y,z∈{1,2,3,4,5,6}·以上，论证准备完毕，下面开始进入论证四．计算证明博饼中每项奖品在每把中出现的概率：（1）对堂：解法一：对堂是形如（1,2,3,4,5,6）的结果（顺序任意交换）

7、。若不考虑顺序，∵每投出一个确定的点数的概率为∴P（X=（1,2,3,4,5,6））===ε考虑各种顺序的可能，即为给1,2,3,4,5,6这六个数字排序有多少种可能，∴P（X=“对堂”）=P（X=（1,2,3,4,5,6））==720ε解法二：将每个骰子分开讨论。在符合条件的情况下，6个数字中，a∈{1,2,3,4,5,6}b∈({1,2,3,4,5,6})c∈({1,2,3,4,5,6}d∈({1,2,3,4,5,6}e∈({1,2,3,4,5,6}f∈({1,2,3,4,5,6}∴n(a