第2章 光子晶体及光子晶体滤波器的理论基础

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1、第1章绪论第2章光子晶体及光子晶体滤波器理论基础2.1光子晶体概述2.1.1光子晶体概念光子晶体也叫光子带隙材料（PBG）,它的概念是在1987年分别由S．John和E．Yablonovitch等人提出来的。经过几十年的发展，光子晶体已成为人们非常关注的领域。所谓光子晶体，是一种介电常量呈空间周期性分布的人工介质结构，它具有光子禁带，频率和能量处于禁带内的光子无法进入光子晶体内部，在光子晶体内部完全被禁止存在[12-14]。在固体物理研究发现，晶体中的周期性排列的原子所产生的周期性电势场中的电子有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中的电子运动是由如下的

2、薛定谔方程决定的：（2.1）其中是电子的势能函数，它有空间周期性。我们求解以上方程(2.1)可以发现，电子能量Ｅ只能取某些特殊值，在某些能量区间内方程无解――即电子能量不能落在在这样的能量区间，通常称之为能量禁带。研究发现，电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体的晶格常数有大致相同数量级。21第1章绪论　　从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期性分布的介质中，电磁场所服从的规律是如下所示的Maxell方程：（1.2）　　　　　　　　　其中，为平均相对介电常数，为相对介电常数的调制部分，他随空间位置作周期性变化，Ｃ为真空中的光速，为电磁波的频率，是电磁波的电矢

3、量，可以看到方程式1.1)和(1.2)具有一定的相似性。事实上，通过对方程式(2)的求解可以发现，该方程式只有在某些特定的频率处才有解，而在某些频率取值区方程无解。这也就是说，在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某些频率是被禁止的，通常波矢禁带图2.1光子禁带示意图称这些被禁止的频率区间为＂光子频率禁带＂(PhotonicBandGap)，如图2.1所示，而将具有＂光子频率禁带＂的材料称作为光子晶体。而我们正是利用光子晶体的“光子频率禁带”这一特点来制作滤波器，使其满足我们需要的波段要求，具有较大的实际意义。21第1章绪论2.1.2光子能带理论由电子的能

4、带理论知道，当把电子的运动近似地看成单个电子在一个等效的周期性势场中运动时，电子的波函数Ψ满足薛定谔方程，即（2-3）（2-4）其中为普朗克常数，为电子能量，式（1-2）表示位能具有周期性，其周期为晶格矢量。　另一方面，一束频率为ω的光在不均匀的无损耗介质中传播时，它的电矢量E所满足的麦克斯韦方程可写成（2-5）其中是常数，为介质的平均介电常数；是扰动介电常数，c为真空中的光速。而当光子是在一个介电常数作周期性变化的介质中传播时，令为变化的周期，则（2-6）比较式（1-1）和式（1-3），可以看出它们的形式有某种相似之处，从而建立如下的类比关系（2-7）即介电常

5、数的变化相当于位能的变化。相当于电子的能量本征值。21第1章绪论电子能隙ω0ωk0光子能隙图2-2光子和电子的k-ω关系曲线图k从光子及电子运动方程的可类比性得出：在一个折射率周期变化的结构中，光子的运动将类似于在周期性势能变化下电子的运动。因此，折射率周期变化的结构应具有光子的能带结构及相应的光子能隙。所谓能带、能隙是指光子的频率ω与波矢k的某种关系，如图1-1所示。由此可见，光子的k-ω曲线是线性的，而电子的k-ω曲线是抛物线型的。这里可用描述电子能带结构的布里渊区来描述光子的能带结构。布里渊区是在波矢空间中的一些特定区域，在每个布里渊区内部，频率随波矢连续

6、变化，属于一个布里渊区的能级构成一个能带。在布里渊区的边界上频率作为波矢的函数发生突变，即出现能隙。这样对于存在光子能隙的介质来说，不是所有频率的光都能在其中传播的，相应于光子能隙区域的那些频率的光将不能通过介质，而是被全部反射出去[15]。这些被禁止的频率区间通常被称为“光子带隙”（PhotonicBandGap）。通常称具有光子带隙（PBG）的空间结构材料为光子晶体，这一概念最先是在1987年分别由S.John和E.Yablonovitch等人提出来的。21第1章绪论进一步研究可以发现，随着光在晶体中的传播方向的改变，光子带隙的位置也会改变，可能在某一个方向

7、被禁止的光线在其他的方向却能传播，这种光子带隙被称为不完全光子带隙。在考虑到作为玻色子的光子和费米子的电子的不同以后，发现对于二维的密堆积排列和三维面心立方结构，通过改变晶格常量和对称性，可以使所有方向上的能隙重合，也就是说可以存在完全光子带隙。后来的研究表明，要得到完全光子带隙，晶体的电容率对比值还要大于2.0。事实上影响光子带隙产生的因素还有很多。由于在光子晶体中频率落在光子带隙内的电磁波不能传播，因此它具有许多特殊的物理现象，例如：抑制自发辐射、能量转移、光子压缩态、光双稳和光开关等。此外，光子晶体的应用价值很大程度上还在于缺陷态的存在。类似普通晶体中的掺

8、杂或缺陷会在电子禁带中造