应用L japunov 指数研究岩土边坡的稳定判据

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1、第16卷　第3期岩石力学与工程学报Vol.16No.319971997年6月ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering16(1997),217～2233应用Ljapunov指数研究岩土边坡的稳定判据吴中如　　　潘卫平(河海大学水力发电工程系　南京　210024)提要　应用Ljapunov指数,研究了失稳准则和稳定度的概念,分析了最大Ljapunov指数LE1与稳定性之间的关系以及ûLE1û的物理意义。提出将LE1作为岩土边坡的稳定判据,将ûLE1û作为系统稳定度的表征量。由碧口水电站的青崖岭库区滑坡的应用实例证明,该法确

2、定的稳定判据符合实际情况。关键词　岩土边坡,稳定判据,Ljapunov指数1　引言众所周知,自然界中存在着大量的复杂的非线性动力问题。如岩土滑坡,既有蠕变,又有随之积累而产生的快速滑坡;既有小规模滑坡,又有大范围滑坡。与此同时,影响滑坡的因素也十分复杂,既有外因:降雨、地下水位、地震等;又有内因:滑坡体的材料参数的变化等。因此,有时难以用确定性分析的方法(如极限平衡法、数值分析和试验等)分析和研究滑坡体的发展规律。近年来,混沌理论因其揭示自然界的本质规律,在物理、化学、地学和材料科学等领域得到较广泛的应用。笔者受此启发,提出应用混沌理论中的Ljapunov指数来研

3、究岩土边坡的失稳规律及其稳定判据。本文提出了失稳准则,研究混沌特征量Ljapunov指数作为岩土边坡的稳定判据。2　基本原理2.1Ljapunov指数Ljapunov指数是相邻轨线的平均发散性或平均收敛性的一种度量。对一个定义于n维流形M的动力系统õ__X=F(X)(1)__X(t)是其轨线(见图1,图中只给出了3维情况)。设X(0)为其初始值,对应轨线为1;若在___初始时刻有一偏差W(0),则X(0)+W(0)在式(1)作用下将产生轨线2。____考察t>0时刻,沿轨线1有值x(t),沿轨线2有值X(t)+W(t),随着t的变化,W(t)1995年5月15日收

4、到初稿,1995年7月25日收到修改稿。3国家自然科学基金和中国长江三峡工程开发总公司联合资助项目。·218·岩石力学与工程学报1997年_也将发生改变。如果W(0)很小,可近似地看__成在X(0)处的切向量,即W(0)∈TxM。_W(t)的变化规律可用下式表示:õ__)_ŒF(X__W=_ûX=X(t)W(2)ŒX[1]这样一维Ljapunov指数可定义如下:_1‖W(t)‖LE=limt_(3)t→∞‖W(o)‖　　式中:‖·‖——Euclid范数。图1　基准轨线与相邻轨线对于n维相空间,可取n个Ljapunov指Fig.1Datumpathlineandad

5、jacentpathline数,按其大小顺序排列为:LE1≥LE2≥⋯⋯≥LEn(4)则式(4)为Ljapunov指数谱。实际上,LE就是矩阵J_ŒF(X)J=(5)ŒX的特征值的实部Re(K)。2.2　稳定性概念及稳定度2.2.1　稳定性的概念_当某一时刻to对边坡施加一微小扰动$X0,在t→+∞时,若初扰动产生的位移__‖y(t)‖→0,则称该系统在to时刻是稳定的;若‖y(t)‖→+∞,则称该系统在to时刻__不稳定;若0<‖y(t)‖0),则称系统在to时刻处于临界状态。下面给出3种状态的数学定义:定义1　任取E>0

6、(E≤H,E为无论如何小,H>0为闭区域),对于任意给定的初始__时刻to>0,存在D(to,E)=D′(to)>0;对于任意初扰动$X0,只要‖$X0‖0(E≤H,E为无论如何小,H>0为闭区域),对任意给定初始时刻__to≥0,存在D(to,E)>0;对于任意初扰动$X0,只要‖$X0‖

7、)。__定义3　若存在E>0,在to≥0时,任取D>0(无论如何小),存在$X0满足‖$X0‖to时,使得_‖y(t)‖>E第16卷　第3期吴中如等:应用Ljapunov指数研究岩土边坡的稳定判据·219·则称系统在该平衡状态处于不稳定,见图2(c)。上述3种状态可作为稳定评判准则,其示意图见图2。(a)　稳定　　　　　　　　(b)　临界情况　　　　　　　　(c)　不稳定图2　系统状态示意图Fig.2Diagramofthesystemstate2.2.2　稳定度在实际工程中,不仅关心工程是否稳定,而且重视其稳定度。稳定度是描述边坡系统状态发展程度的量

8、。定义4