稳定性和代数稳定判据

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1、3.5线性系统的稳定性分析一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定，那么随着时间的推移，系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，即使系统的扰动消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态。因此，显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。因此，如何分析的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论研究的基本

2、任务。钟摆的运动平衡点（状态）为A、D，对于平衡点A，在扰动消失后，由初始偏差角开始的自由运动随着时间的推移，摆终究会停止运动并回到平衡点A，所以平衡点A是一个稳定的平衡点（状态）；对于平衡点D哪怕是由扰动引起的微小偏差角，在扰动消失后，无论经过多长的时间，摆都不会再回到原来的平衡点D，所以平衡点D是一个不稳定的平衡点（状态）。DCBA（1）控制系统稳定的实例：1．系统运动的稳定性（2）系统运动稳定性的描述稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即

3、被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。通过前面关于系统动态性能的分析可知，线性系统由扰动作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失”，实际上是指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的，则系统是稳定的，若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。对于暂态响应不能消失有2种情况，一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态，另外一种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态，对于等幅振荡情形可以称为临界稳定状态。结论：线性系统的稳定性，与系统的输

4、入信号、初始状态均无关，它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。由于线性系统的稳定性与输入信号形式和初始状态无关，因而只需要研究系统无论是“什么”激励信号产生的暂态响应，也即系统的自由运动能否随着时间的推移而消失，因此可以假设系统的初始条件为零，外部激励为脉冲函数输入信号，即研究单位脉冲响应g(t)，随着时间推移并趋向无穷大时的衰减和发散情况。这种假设相当于在扰动信号作用下，输出信号偏离原来的工作状态的情形。2．线性控制系统稳定性的充分必要条件序号脉冲函数极限值脉冲响应衰减情况稳定状态1衰减系统稳定2发

5、散系统不稳定3或等幅振荡系统临界稳定若时间时，脉冲响应函数趋向于零，则系统是稳定的，若发散则系统不稳定，若等于某个定值或趋于等幅振荡则系统临界稳定。线性系统稳定的充分必要条件为：系统微分方程的特征根全部都是负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于s平面的左半平面。，当特征根出现正实数或实部为正的复数或有极点分布于s平面的右半平面时，线性系统为不稳定；当特征根出现纯虚数或有极点位于s平面的虚轴时，线性系统为临界稳定。不稳定区域稳定区域临界稳定S平面解：闭环统的传递函数为，其闭环极点为、，所以系统稳定

6、。[例3]单位负反馈控制系统的开环传递函数为：，试判别闭环系统的稳定性。[例1]系统的闭环传递函数为：，判别系统稳定性。解：由给定闭环传递函数可知系统的闭环极点分别为、，所以系统稳定。[例2]已知线性系统的闭环特征方程为，试判别系统的稳定性。解：由给定的闭环特征方程，可求得特征根为：，，依据线性系统稳定的充分必要条件可知系统为临界稳定。3．代数稳定判据设线性系统的特征方程为：，依照以下的方法构造劳斯表，构造方法如下：二阶系统：，构造劳斯表：劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表第一列的所有元素符号不改变，且符

7、号改变的次数为特征根位于s右半平面的个数。[例4]讨论二阶、三阶系统稳定的充分必要条件。由劳斯表并依据劳斯判据可知，二阶系统稳定的充分必要条件为：三阶系统：，构造劳斯表：由劳斯表并依据劳斯判据可知，三阶系统稳定的充分必要条件为：且[例5]设闭环系统的特征方程为，试判别其稳定性。解：构造劳斯表由劳斯表可见，其第一列元素的符号发生了2次改变，所以该系统是不稳定的，且有2个特征根位于s右半平面。在构造劳斯表的时候，可能会遇到2种特殊的情况，致使劳斯表无法正常构造，为此需要进行相应的数学处理，具体的方法如下：第一种特殊情况

8、：劳斯表中第一列的某一行元素出现零元素。结论：当出现这种情况时，说明系统特征方程式具有正实数根或纯虚根，表明系统不稳定或临界稳定。处理方法：可以用一个小正数来代替那个零元素，然后继续构造下去，并令，判别第一列元素符号改变的次数。[例6]设系统的特征方程为解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。由劳斯表可见，其第一列元素的符号没有改变，故系统临界稳定，存在一对虚根。