《1.3.1圆幂定理》课件1

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1、1.3.1圆幂定理导入新课在前面的知识当中，我们已经学习了有关圆的切线定理，知道了圆的切线是一条经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线.APO如图，我们通过圆外的一点P作该圆的切线PC，同时，引一条割线交圆于A、B两点，那么圆的切线PC与割线PA、PB有什么关系呢？CPOAB而对于任意位置一点P，过点P的割线交圆于A、B两点，割线PA·PB的值又与哪些因素有关系呢？这就是本节我们即将探讨的问题.OPAB教学内容ACBDPO如图，弦AB和CD交⊙O内一点P，那么，图中相等的角有哪些？由此能得到哪两个三角形相似？并推出哪些线段成比例呢？探究下面，我们利用圆周角定理和

2、弦切角定理以及相似三角形进行讨论.如图，AB、CD为圆O的两条任意弦.相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C.所以△APD∽△BPC.所以相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.APPCPDBP=AP·BP=PC·PDACBDPO在相交弦定理中，有两个特例：(1)如图，若圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.ACBDO(2)如图当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA•PB＝PC•PD＝O，相交弦定理仍然成立.ACP(

3、B，D)O切割线定理：如图，PT为圆切线，PAB为割线.连接TA，TB，则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT，所以PABTPTPBPAPT=PT2=PA·PB从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项.下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则PA•PB都是定值.PABO设定植为k，则：当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得k=PA•PB=PT2=PO2-r2(r表示⊙O的半径)PATOB

4、r当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则：k=PA•PB=PA2=r2-PO2(r表示⊙O的半径)OABCPDr当点P在圆上时，显然k=0.已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则：当点P在圆外时，k=PO2-r2；当点P在圆内时，k=r2-PO2；当点P在⊙O上时，k=0.由上，我们可以得到：我们称定值k为点P对⊙O的“幂”圆幂定理：例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长度为32cm，求第二条弦被交点分成的两端的长.例题解析解：设第二条弦被交点分成的一端长为xcm，则另一段长为(32–x)

5、cm，根据相交弦定理，有x(32–x)=12×16，即x2–32x+192=0.解得x1=8或x2=24.因此32–x1=24，32–x2=8.另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm，24cm.例2.已知：线段a，b(如图)求作：线段c，使c2=ab.作法：1.作线段AP=a；2.延长AP到点B，使PB=b；3.以AB为直径作半圆；4.过点P作PC⊥AB，交半圆于点C.PC就是a，b的比列中项c.例3.已知如图，在⊙O中，C是⊙O上异于A，B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P，过B作⊙O的切线交CP于点D，且∠CDB=90°，CD=3，PD=4.求⊙O的

6、弦AB的长.解：因为DC切⊙O于点C，DB切⊙O于点B，所以CD=BD=3，因为∠CDB=90°，PD=4，所以变式：1.如图：AE切圆于D，并和弦CB的延长线交于点A，CD平分∠BDE，CD=7，AD=12，求AC的长.ADECB解：依题意，知AE切圆O于D，推得∠EDC=∠DBC，又DC平分角BDE，推得∠EDC=∠BDC，则可得∠DBC=∠BDC，所以△DBC是等腰三角形，BC=CD=7，由切割线定理得AD2=AB·AC，122=(AC-7)·AC设AC=x，122=(x-7)x，得x1=16，x2=-9(舍)，所以AC=16.2.如图：△ABC中，∠C=9

7、0°，BC=2cm，D是AC上的一点，以CD为直径的圆与AB相交于E，F，且AE=EF=FB，求圆的直径CD.解：设AE长为x，依题意可知BC是圆的切线，由切割线定理得BC2=BF·BE=22=4，又知AE=EF=FB=x，可得BF·BE=2x2=4，x=2则AB=32，所以在RT△ABC中AD2=AB2-BC2得AC=14，又AE·AF=AD·AC，从而得到DFECBA1475CD=AC-AD=cm3.AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC于点F、M、G.(1)求证：AE·BE=EF·EG.(2

8、)连结BD