欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:37464424
大小:999.00 KB
页数:43页
时间:2019-05-24
《数学物理串讲》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章数学物理定解问题(1)依据物理规律(同一类物理现象的共同规律),将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程,称此方程为泛定方程(共性,一般规律)。(2)列出具体问题的初始条件(历史状态)和边界条件(所处环境)称为定解条件(个性)。(3)泛定方程提供解决问题的依据,定解条件提出具体的物理问题,作为一个整体,叫做定解问题。【——定解条件:边界条件与初始条件——物理规律用偏微分方程表达出来,叫做数学物理方程——泛定方程(不带定解条件的数学物理方程)——定解问题:在给定的定解条件下求解数学物理方程】§7.1数学物理方程的导出——本小结导出的偏微分方程主要分为三类(ⅰ)
2、以波动方程(1-6,14)为代表的双曲型方程;43齐次方程,其中,就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程(自由振动方程)比如弦在振动过程中还受到外加横向力(与同方向)的作用,引入力密度(7)修改为(8)(7)称为弦的自由振动方程,(8)称为弦的受迫振动方程。再比如考虑重力,作用在此段上的重力为,则,重力与同向。则有:。43(ⅱ)以输运方程(扩散,热传导,7,8)为代表的抛物型方程;,(7.1.25)如果仅在x方向有扩散,则一维扩散方程为,(7.1.26)(iii)稳定场问题(PoissonandLaplaceequations)(九)稳定的浓度分布
3、见P147-148浓度在空间的分布构成一个标量场,在一般情况下,浓度分布是时间的函数,遵从扩散方程,如果扩散源强度不随时间变化,扩散运动将持续进行下去,最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化,即,则上式变为泊松方程(7.1.39)为泊松(Poisson)方程如果源与汇不存在,则得到Laplace方程:43。(7.1.40)为Laplace方程。§7.2定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看,仅有方程还不足以确定物体的运动,因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外,从数学的角度看,一个微分方程的通解中往往含有若干个任
4、意常数或任意函数,这就使得其解不能唯一确定,为了得到唯一确定的合理解,我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定解条件来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。定解条件即是初始条件和边界条件的统称,求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。(一)初始条件某时刻,通常取t=0时,作为初始条件。1.波动方程的初始条件初始条件表示如下:43t=0时刻系统中各点“位移”t=0时刻各点的“速度”1.输运方程的初始条件(如浓度温度等)——没有初始条件的问题见P154-155——稳定场方程无需提初始条件(一)边界条件第一类边界条件或常数弦的横振动:如果弦的两
5、端固定,其边界条件为,。1.第二类边界条件或常数即u在边界外法线方向上方向导数值.43表示外法线方向的单位矢量。在一维问题中常以代替。——热传导举例设流入物体内的热流(单位时间通过单位截面积的热量)为f(t),则边界条件为:流出:则有具体到细长杆的热传导问题,如一端面x=0流入热流为,另一端(x=l)流出热流为,于是,例考虑长为的均匀杆的导热问题,若(1)杆的两端温度保持零度;(2)杆的两端绝热;(3)杆的一端为恒温零度,另一端绝热;试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。解:设杆的温度为u(x,t)则(1)43(2)因为当沿着杆长方向有热量流动时由Fourier
6、实验定律(2.1.7)有,其中q为热流强度,而杆的两端绝热,就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动(q=0),故有(3)显然,此时有(一)定解问题的表述所谓定解问题,就是根据物理规律,分析问题的性质、条件等导出相应的方程(泛定方程)和应满足的初始条件,边界条件等(定解条件)。解的适定性:有解,唯一性,稳定性。43§7.4达朗内尔公式(又叫行波法,定解问题)本节只要求掌握:在无界的情况下一维波动方程初值问题的Dalembert公式及其物理意义。(一)定解问题我们研究弦、杆、传输线等是“无限长的”,即在不存在边界条件,只存在初始条件。研究这样的定解问题或写成(
7、此为双曲型波动方程,见P164-165)(二)求通解此即一维无界波动方程的d’Alembert公式/解。43例1求定解问题解:由d’Alembert公式数学物理定解的定解问题的求解方法1.行波法2.分离变量法3.幂级数的解法4.Green函数法5.积分变换法6.保角变换法7.变分法8.数值计算法43第八章分离变数法(Fourier级数法)——基本思想:把偏微分方程分解为几个常微分方程。其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。本征值问题是分离变数法的核心。——本章仅限于本征函数为三角函数的情况。主要介绍:一维波动方程、热传导方程和二维稳态场方程
此文档下载收益归作者所有