数学物理串讲

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1、第七章数学物理定解问题（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。【——定解条件：边界条件与初始条件——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】§7.1数学物理方程的导出——本小结导出的偏微分方程主要分为三类（ⅰ）

2、以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程；43齐次方程，其中，就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）比如弦在振动过程中还受到外加横向力（与同方向）的作用，引入力密度（7）修改为（8）（7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。再比如考虑重力，作用在此段上的重力为，则，重力与同向。则有：。43（ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；，（7.1.25）如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为，（7.1.26）（iii）稳定场问题（PoissonandLaplaceequations）（九）稳定的浓度分布

3、见P147-148浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布是时间的函数，遵从扩散方程，如果扩散源强度不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即，则上式变为泊松方程（7.1.39）为泊松（Poisson）方程如果源与汇不存在，则得到Laplace方程：43。（7.1.40）为Laplace方程。§7.2定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任

4、意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定解条件来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。（一）初始条件某时刻，通常取t=0时，作为初始条件。1.波动方程的初始条件初始条件表示如下：43t=0时刻系统中各点“位移”t=0时刻各点的“速度”1.输运方程的初始条件（如浓度温度等）——没有初始条件的问题见P154-155——稳定场方程无需提初始条件（一）边界条件第一类边界条件或常数弦的横振动：如果弦的两

5、端固定，其边界条件为，。1.第二类边界条件或常数即u在边界外法线方向上方向导数值.43表示外法线方向的单位矢量。在一维问题中常以代替。——热传导举例设流入物体内的热流（单位时间通过单位截面积的热量）为f(t),则边界条件为：流出：则有具体到细长杆的热传导问题，如一端面x=0流入热流为，另一端(x=l)流出热流为，于是，例考虑长为的均匀杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端绝热；(3)杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。解：设杆的温度为u(x,t)则（1）43（2）因为当沿着杆长方向有热量流动时由Fourier

6、实验定律（2.1.7）有，其中q为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动（q=0），故有（3）显然，此时有（一）定解问题的表述所谓定解问题，就是根据物理规律，分析问题的性质、条件等导出相应的方程（泛定方程）和应满足的初始条件，边界条件等（定解条件）。解的适定性：有解，唯一性，稳定性。43§7.4达朗内尔公式（又叫行波法，定解问题）本节只要求掌握：在无界的情况下一维波动方程初值问题的Dalembert公式及其物理意义。（一）定解问题我们研究弦、杆、传输线等是“无限长的”，即在不存在边界条件，只存在初始条件。研究这样的定解问题或写成（

7、此为双曲型波动方程，见P164-165）(二）求通解此即一维无界波动方程的d’Alembert公式/解。43例1求定解问题解：由d’Alembert公式数学物理定解的定解问题的求解方法1.行波法2.分离变量法3.幂级数的解法4.Green函数法5.积分变换法6.保角变换法7.变分法8.数值计算法43第八章分离变数法（Fourier级数法）——基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程。其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。本征值问题是分离变数法的核心。——本章仅限于本征函数为三角函数的情况。主要介绍：一维波动方程、热传导方程和二维稳态场方程