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1、4.7.3(2)黄金分割法—0.618法《湖南数学网》www.hnmath.com1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法ACB如图，什么是线段的黄金分割点？点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB，则称点C为线段AB的黄金分割点。不难得出:x2+x-1=0ACB设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1.线段AC与AB的比值是多少?解之:x≈0.618根据上面的两个原则:(b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1].(1-
2、x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618.这就是黄金分割常数。尽快的找到最佳点的两个原则是什么？（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应为相同。黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢?这是我们今天要解决的问题.课题:黄金分割法---0.618法把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是黄金分割法.案例炼钢时通过加入含有特定化学
3、元素的材料,使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量。最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验,一定可以得到最优值.用黄金分割法的操作步骤如下:用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度,找出它的黄金分割点x1作为第一试点;对折纸条,找出x1的对称点x2作为第二试点;用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加
4、入量:试验点的选取：x1=小+0.618×(大－小)……(1)x2=小+大－x1……(2)对于(2)来说,相当于“加两头,减中间”.一般公式：xn=小+大－xm比较两次实验结果,如果x2是好点,则将纸条沿1618处剪断,去掉1618以上的部分,保留1618以下的部分.重复上面的步骤,找出x2的对称点x3作为第三试点.X3=1000+1618-1382=1236(第三次加入材料1236g)1000161812361382x3x2如果第二试点仍是好点,则剪掉1236以下的部分,在留下的部分内找出x2的对称点
5、x4作为第四试点.1236161813821472x2x4x3x1重复上面的步骤,最佳点被限制在越来越小的范围内,即存优范围越来越小.上面的过程可以总结如下:一试零点六一八,二试对折重合点;对准差点切一刀,留下含好那一段;再试好点对称处,按此办法反复做;每次打折六成多,直到结果满意止;何时才算满意呢?什么时候结束我们的试验呢?这要看你要求试验达到什么精度.定义:存优范围与原始范围的比值叫做精度.δn=第n次试验后的存优范围原始的因素范围δn=0.618n-1例如:若要求精度达到0.05.要做多少次试验呢
6、?0.618n-1≤0.05.lg0.618则n≥.lg0.05+1≈7.22所以,只要安排8次试验,就可以使精度达到0.05.练习1、P10习题1.3第1、2题精度计算公式:.lg0.618n≥.lgδ+1其中,δ为精度.2、《学法大视野》P7演练三第1、4、5题小结:1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形.2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处.3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确定.一般公式：xn=小+大－xm
