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1、1.n元线性方程组Ax=b有解.且：无穷多解。一、线性方程组解的判定定理有唯一解;2.n元齐次线性方程组Ax=0有非零解。只有零解；特别地：（1）方程个数<未知数个数时（2）方程数=未知个数时：有非零解。只有零解；，有非零解。二、向量组的线性组合1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由1,2,···,s线性表示，或称β是1,2,···,s的线性组合。2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组x11+x22+···+xss=β有解，其充要条件是r(A)=r(A
2、β)注：判断β能不能由1,2,···,s线性表示
3、的方法：把矩阵(1,2,···,s,β)变换为行阶梯形矩阵，并从中观察r(1,2,···,s)和r(1,2,···,s,β)，进行比较。即r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)例：设有向量组1=(1,0,2)T,2=(1,2,0)T,3=(2,1,3)T,4=(2,5,－1)T，试问4是否可由1,2,3线性表示？若可以，写出表示式。解：设有数x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=4<3所以方程组有无穷多解，即4可由1,2,3线性表示，且表示方式不唯一。对继续施行初等行变换，最后一个矩阵对应的线
4、性方程组为：若取x3=1，所以:－21+22+3=4若取x3=－1，所以：1+32－3=4有:x1=－2有:x1=1,x2=2,,x2=3,三、向量组的线性相关性1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,使得k11+k22+···+kss=O.若k1,k2,···,ks必须全为零，则称1,2,···,s线性无关。2.1,2,···,s线性相关的含义是齐次线性方程组x11+x22+···+xss=O有非零解，（即Ax=0）线性无关的含义是方程组其充要条件是r(A)=s,r(A)5、.只有零解即r(1,2,···,s)=s.例：设有向量组1=(1,0,－1,2)T,2=(－1,－1,2,－4)T,3=(2,3,－5,10)T,试讨论向量组1,2,3及向量组1,2的线性相关性。解：<3所以1,2,3线性相关；所以1,2线性无关。例：如果β可由1,2,···,s线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,2,···,s线性无关。r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)x11+x22+···+xss=β分析：β可由1,2,···,s线性表示有解1,2,···,s线性无关。r(1,
6、2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s在此前提下x11+x22+···+xss=β有唯一解，表示法唯一例：如果1,2,···,s线性无关，1,2,···,s,β线性相关，则β可由1,2,···,s线性表示。r(1,2,···,s)=s分析：1,2,···,s线性无关从而β可由1,2,···,s线性表示。1,2,···,s,β线性相关r(1,2,···,s,β)r(1,2,···,s)r(1,2,···,s,β)7、β)方程组有唯一解而且：x11+x22+···+xss=β有解8、3=O.从而α1,α2,α3线性相关。若1,2,···,s中有一向量可由其余s－1个向量线性表示，证明：()不妨设：1.定理：向量组1,2,···,s(s≥2)线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示。则：不全为零，从而1,2,···,s线性相关。向量组1,2,···,s(s≥2)线性无关的充要条件是其中每个向量都不能可由其余向量线性表示。证明：()1.定理：向量组1,2,···,s(s≥2)线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可
