层次分析法与一元回归

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1、第三章层次分析法与一元线性回归3.1层次分析法问题：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，比较的因素有景色、费用、居住、饮食、旅途条件等，你如何决定选择哪个旅游胜地呢？层次分析法的思想人的决策过程—层次分析的原理首先，你会确定这些因素在你的心目中各占多大比重，其次，你会就每一个因素将3个地点进行对比。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。这就是层次分析法解决问题的思路。层次分析法的适用层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于

2、那些难于完全定量分析的问题。人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。层次分析法基本原理与步骤运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i）建立递阶层次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii）层次单排序及一致性检验；（iv）层次总排序及一致性检验。1.递阶层次结构的建立层次分析法的前提是首先把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。原始问题被分解为元素的组成部分

3、。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。例1假期旅游有3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复

4、比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。〔例2〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：〔例3〕选拔干部模型对三个干部候选人y1、y2、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：思考：各因素之间的重要度（或者权重）用何种方法确定会比较准确呢？构造判断矩阵在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较，建立成对比较矩阵的办法。比较第i个元素与第j个元素相对上一层某

5、个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有n个元素参与比较，全部比较结果用矩阵表示，则称为成对比较判断矩阵。容易看出，若xi与xj对相对上一层某个因素的影响之比为aij，则xj与xi的影响之比应为1/aij。关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1~9标度的含义：思考：两两因素之间的关系一共要做多少次比较？做n-1次比较的弊病在哪里？合理的比较次数？a14=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄明显重要。3层次单排序及一致性检验3.1层次单排序任务：得出同一层次中的每个因素对于上一层次某因素

6、相对重要性的权重。做法：判断矩阵对应于最大特征值的特征向量，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。3.2一致性检验必要性：综合判断矩阵中全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。在做层次单排序之前，需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵是否严重地非一致，以便确定是否接受。定理3n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根，且当正互反矩阵非一致时，必有。非一致性程度检验的思路根据定理3，我们可以由是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于，故比n大得越多，A的非一致性程度也就越严

7、重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出在对因素Z的影响中所占的比重。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：例：对选拔干部一例作一致性检验计算得到查得RI=1.12，这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。该特征向量标准化后变成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)。思考如何求得？其对应的特征向量如何求得？特征值与特征向量的简便算法：在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵

8、A=(aij)的最大特征值λmax(A