数据结构第19讲关键路径与最短路径

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1、第7章图7.1图的定义和术语7.2图的存储结构7.3图的遍历7.4图的连通性问题7.5有向无环图及其应用7.5.1拓扑排序7.5.2关键路径7.6最短路径7.5.2关键路径对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：1）工程能否顺利进行对AOV网进行拓扑排序2）估算整个工程完成所必须的最短时间对AOE网求关键路径AOE-网AOE－网(ActivityOnEdgeNetwork)：即边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图。其中：顶点表示事件（Event）弧表示活动（Activity）权值表示活动持续的时间通常可用AOE网来估算工程的完成时间。上图AOE-网中：

2、共有11项活动：a1,a2,a3,…a11；共有9个事件：v1,v2,v3,…v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。v9表示整个工程的结束v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间v1表示整个工程的开始由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）汇点源点依据AOE-网可以研究什么问题？（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的长度。路径长

3、度最长的路径叫做关键路径。从v1到v9的最长路径是（v1,v2,v5,v8,v9），路径长度是18。假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。用e(i)表示活动ai的最早开始时间。V9的最早发生时间是18事件vi的最早发生时间l(i)－e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。我们把l(i)＝e(i)的活动叫做关键活动。显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。a6的最早开始时间是5，最迟开始时间是8。如a6推迟3天开始或延迟3天完成

4、，都不会影响整个工程的完成。活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。由此可知：辨别关键活动就是找e(i)＝l(i)的活动。为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。若活动ai由弧表示，持续时间记为dut()，则有如下关系：活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间e(i)＝ve(i)活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i的持续时间l(i)＝vl(j)-dut()求ve(j)和vl(j)需分两步进行：aiViV

5、jve[j]和vl[j]可以采用下面的递推公式计算：（1）向汇点递推ve(源点)=0；ve(j)=Max{ve(i)+dut()}公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间ve[j]pVjVi（2）向源点递推由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时间ve[n]。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生时间相同，即vl[n]=ve[n]。从汇点最迟发生现时间vl[n]开始，利用下面公式：vl(汇点)=ve(汇点);vl(i)=Min{vl(j)–dut()}公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中

6、取需最早开始的一个开始时间作为Vi的最迟发生时间。VjSVi由此得到下述求关键路径的算法：1）输入e条弧，建立AOE网的存储结构。2）从源点v0出发，令ve[0]＝0按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时ve[i]（1≤i≤n-1）。如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。3）从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥0)；4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足

7、条件e(s)=l(s)，则为关键活动。如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0<=i)>ve(j),则ve(j)=ve(i)+dut()；3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的ve值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序