次溷合多项式曲线间曲面究

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1、三次混合多项式曲线和区间曲面的研究——杨勤民指导教师汪国昭教授浙江大学硕士学位论文答辩2002年于浙江大学概述计算机辅助几何设计(CAGD)CAGD中的曲线及其拐点和奇点C-曲线、三次C-Bézier曲线三次参数曲线上的拐点、尖点和二重点CAGD中的区间曲线曲面及其降阶逼近区间Bézier曲线论文主要内容平面混合多项式曲线及其拐点、尖点和二重点的存在条件区间三角Bézier曲面的降阶逼近广义摆线定义性质1.周期性2.当且是摆线3.可以精确表示一些特殊曲线C-曲线广义摆线的一段三次C-Bézier曲线是三次C-曲线的特例性质1几何不变性2端点插值性3端边相切性4凸包性5变差缩减性广

2、义摆线的形状特征——拐点、尖点和二重点的分布其中与相对曲率同号特征函数单重零点拐点二重零点尖点无零点二重点拐点、尖点和二重点的互斥性C-曲线的形状特征判断特征函数在上的零点的类型单重零点拐点二重零点尖点存在使二重点三次C-Bézier曲线的形状特征三次C-Bézier曲线形状分类结果LNNLLSDNNSSSDDCCCFE平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类三次混合双曲多项式曲线一段三次混合双曲多项式曲线三次H-Bézier曲线的形状分类几何不变性、端点插值性、端边相切性、凸包性和变差缩减性区间三角Bézier曲面区间三角Bézier曲面的降阶逼近问题给定一张n次的区间三角Bézi

3、er曲面，寻求一张m次(m

4、零点当时，恒为零，是一条直线。这里只考虑的情形当时，有单重零点；当时，有二重零点；当时，无零点。广义摆线的形状分类拐点:定义为切向量连续，曲率为零的非直线点特征函数的单重零点对应于广义摆线的拐点即：尖点：对于适当参数化的曲线而言定义为一阶导向量为零的点特征函数的二重零点对应于广义摆线的尖点即：二重点：曲线的自相交点特征函数无零点时，广义摆线上存在二重点即：三次C-曲线的形状分类判断三次C-曲线上内部拐点和尖点的存在情况，就是要判断特征函数在上的零点的类型三次C-曲线是广义摆线的一段:单重零点拐点二重零点尖点存在使二重点三次C-Bézier曲线其中将三次C-Bézier曲线化为C-曲

5、线平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类三次混合双曲多项式曲线及其形状分类一段三次混合双曲多项式曲线的形状分类三次H-Bézier曲线的形状分类几何不变性、端点插值性、端边相切性和凸包性区间三角Bézier曲面设是三角形内的任意一点，表示重心坐标，。令则区间三角Bernstein-Bézier曲面定义为其中区间运算几何意义厚度区间三角Bézier曲面的降阶问题给定一张n次的区间三角Bézier曲面，寻求一张m次(m

6、ézier曲面价改写成高阶的形式本文推广定义了区间三角Bézier曲面的升阶公式，并证明了升阶的合理性由升阶公式可以得到它的逆变换，称之为还原公式。本文还探讨了能够对这些区间控制顶点进行逆变换的限制条件，称之为还原条件约束优化目标函数厚度最小约束条件求解包含关系：还原条件：可降为m次的条件在一般情况下可采用Matlab等软件求解，降阶次数比较低时也可采用分析法求解待解决的问题特征函数的虚根与曲线上的二重点是否存在某种联系？空间三次混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必要条件；平面三次有理混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必要条件；空间三次有理混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必

7、要条件；探讨区间三角Bézier曲面降阶逼近的更为有效的算法。总结给出了平面三次混合多项式曲线上拐点、尖点和二重点存在的充分必要条件。这些平面三次混合多项式曲线包括：广义摆线(平面三次混合三角多项式曲线)、三次C-曲线、三次C-Bézier曲线、平面三次混合双曲多项式曲线、平面三次混合双曲多项式曲线段、三次H-Bézier曲线。方法：通过特征函数零点的分布得到拐点和尖点的分布，直接从定义出发可得到二重点的分布设计了一种区间三角Bézier曲面的降阶逼近算法。方法：先采