正方体中的三个圆柱两两垂直

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1、§s函锯臻豁器张％婀置霓，8§毛99中学数学杂志2016年第9期正方体中的三个圆柱两两垂直北京师范大学教育学部100875李春雷北京师范大学良乡附属中学102488李春雷笔者探究了“斜切圆柱侧面所得椭圆在圆柱侧面上的部分．面展开后所得曲线的类型”，进而探究了“‘直角’现将图2中的“牟合方盖”的表面展开在平面型、‘’型、‘十’字型圆柱、牟合方盖的展开图、面ABCD上，所得图形如图3所示，恰好是四条各自在积、体积问题”_1]．本文欲在此基础上做更深入的一个周期上的正弦曲线所围成的“四瓣花”．研究．中

2、国数学家刘徽注《九章算术》时，发现其“开立圆术”中所给的球体积是错误的．他创造了一个称之为“牟合方盖”的立体图形，即在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱所得相交的部分．祖冲之和他的儿子祖陋继承了刘徽的思路，即从计算“牟合方盖”体积人手得到球的体积j．本文在前人研究两个圆柱垂直的相交部分是“牟合方盖”的基础上，进一步研究立方体的三个内切圆柱两两垂直且相交时公共部分的形状．在CNKI的中国期刊全文数据库及其学位论文数据库中检索，还没有发现关于这方面的研究．已知E，F，G，H，，，-，分别是棱长为2

3、r的正方体ABCD—ABCD的上、下、左、右、前、后面的中心，0是正方体的中心，，K，N,L分别是棱AA，BB，CC，DD的中点．1两个圆柱互相垂直与牟合方盖如图1，在正方体AGD__ABCD中，作底面图4图5半径为r的圆柱和圆柱GH，则这两个圆柱互相垂如图5所示，在矩形ACCA所在的平面中，以0直且分别与正方体内切．这个两个圆柱的相交部分为原点，MN所在直线为轴建立平面直角坐标系．是一个“牟合方盖”(如图2所示的立方体内的空间图形)。易知椭圆的长半轴长o=IOMJ=，，短半轴长b=IoEJ=r

4、，则椭圆的方程为+=1．①设直线Ac的方程为Y=kx，将点A(一r，r)／4'-的坐标代人该直线方程，可得k=一等，则直线AC的方程为Y=一．②图1图2将①②联立可得P(一，)，Q(，，一，)，其曲面EMFK和曲面ELFN都是圆柱GH侧面上的部分，曲面EKFN和曲面ELFM都是圆柱侧这也说明点P，Q到圆柱F的轴的距离都是r，26中学数学杂志2016年第9期则点P，Q恰在圆柱EF的侧面上．体放入到图4所示的几何体中可得到图9．我们来进一步认识图8所示的几何体(如图10可求得IA'Pl=ICQl=1

5、一)r．所示)：从而进一步可知，立方体内的三个圆柱被立方1．它是棱长为√_r的正方体扣3：6个几何体“小体内的各对角面斜切后得到的椭圆与正方体的体对厅盖”x，这些“小盖的高”都是(1一)r；角线的交点到相应顶点的距离都是(1一半)r．为二2．“小盖的顶点”E，，，此在AC上取点R，S，在BD上取点，，在DB上F，．，在同一个圆上，G，，，H，取点，，使它们到相应正方体顶点的距离都等于．，在同一个圆上，E，G，F，H斤在同一个圆上，这些圆的半IAPf=(1一等)r，二径都是r．点E，，，F，J，G

6、，H易证这些点连接后可得到棱长为的正方体都在半径为r的同一个球PUSW—RVQr(如图6所示)．面匕．3·曲面EPW和曲面图l0，P实际上是图9的圆柱．GH侧面上的相邻两部分，可以合并成一个曲面EPlW．其他各面情况同理．4．该几何体由l2个曲面所围成：第一类：图9的圆柱GH侧面上的部分有曲面图6图7EPIW、曲面IRTF、曲面FVJQ、曲面E正方体ABCD—ABCD的对角线对应的平面第二类：图9的圆柱，．，侧面上的部分有曲面将正方体分割成以0点为顶点，各面为底面的6个EWHS、曲面HTFQ、曲

7、面FRGV、曲面EPGU．相同的正四棱锥．第三类：图9的圆柱EF侧面上的部分有曲面易知，图2中的“牟合方盖”在正四棱锥0一，册、曲面HSQJ、曲面JUVG、曲面GPRLA’曰’C’D’中的面PWSU以上部分如图7所示，设为空E间几何体，它是由曲面EPW、曲面EWS、曲面EUS、曲面EUP以及正方形面PWSU所围成的几何体其中点到面PWSU的距离为r一警r=(1一E图115．将图9的圆柱伽侧面上的部分、圆柱Ⅳ侧面上的部分以F为中心展开到ABCD所在的平面上图8图9(如图1l实线所围成的部分)，该图

8、由8个形如将正方体PUSW—RVQT的其余5个面也盖上的曲边四边形构成，其中曲线段EU，ES，J，1相同的5个几何体x，便得到三个圆柱两两垂直相相同，都是正弦曲线水平点后寺个周期的部分．交的公共部分(如图8所示)，在将图8所示的几何27％琵琶嚣尼冤9中学数学杂志2016年第9期可将该图与图3对比可知，少了8个形如SJQNS的的表面积是平面曲边四边形EUJS面积的12倍，可曲边的面．用积分法求出平面曲边四边形EUJS的面积，此处将图9的圆柱EF侧面上的部分以，为中心展开从略．后续还可以研究此几何体