数学竞赛大纲

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1、中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：　　一、函数、极限、连续　　1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.　　2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.　　3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.　　4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.　　5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.　　6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.　　7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.　　8．连

2、续函数的性质和初等函数的连续性.　　9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).　　二、一元函数微分学　　1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.　　2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.　　3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.　　4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.　　5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.　　6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.　　7.函数的

3、极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.　　8.函数最大值和最小值及其简单应用.　　9.弧微分、曲率、曲率半径.　　三、一元函数积分学　　1.原函数和不定积分的概念.　　2.不定积分的基本性质、基本积分公式.　　3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.　　4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.　　5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.　　6.广义积分.　　7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积

4、、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．　　四.常微分方程　　1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.　　2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.　　3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：.　　4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.　　5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.　　6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积　　7.欧拉(Euler)方程.

5、　　8.微分方程的简单应用　　五、向量代数和空间解析几何　　1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.　　2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.　　3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.　　4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.　　5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.　　6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.　　7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.　　六、多元函数微分学　　1

6、.多元函数的概念、二元函数的几何意义.　　2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.　　3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.　　4.多元复合函数、隐函数的求导法.　　5.二阶偏导数、方向导数和梯度.　　6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.　　7.二元函数的二阶泰勒公式.　　8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.　　七、多元函数积分学　　　1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).　　2.两类曲线积分的概念

7、、性质及计算、两类曲线积分的关系.　　3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.　　4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.　　5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.　　6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)　　八、无穷级数　　1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本