知识点9 复合函数的极限运算法则

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1、学科：高等数学第一章函数与极限知识点9复合函数的极限运算法则精选习题作者：邹群arctanx例9.1(难度系数0.2)求limtan.x0x解析：由于“tan”后的极限存在.直接利用函数的连续性进行复合函数极限的运算即可.arctanxarctanx解：limtantanlimtan1.x0xx0x41arcsinx1cosx例9.2(难度系数0.4，跨知识点12,32)lim.x0x解析：本题属于“1”型未定式的极限，用换底公式使之变为指数函数的复合函数，然后用复合函数求导法则.在求极限中用到了等价无穷小替

2、换与洛必达法则.arcsinxln()x解：原式=lime1cosxx0arcsinxarcsinxx11lnln(1)arcsinxx2xx1x因为limlim=lim=limx01cosxx012x013x032xxx22222211x2x1=lim=lim=3x0x23x0x2(11x2)3arcsinxln1则原式=limxe3.x01cosxxf(2x)例9.3(难度系数0.2)已知lim2，则lim（）.x0f(3x)x0x134（A）3（B）（C）（D）343解析：利用复合函数的极限运算法则求解，特别是找出分子

3、分母中的变量关系来求解，也可以通过变量代换来求解.xf(3x)1f(2x)2f(2x)211解：因为lim2，所以lim.故limlim.x0f(3x)x0x2x0x3x02x3233故选（B）.f(x)ln1sin2xf(x)例9.4(难度系数0.4，跨知识点12)已知lim5，求lim.x2x0e1x0x解析：利用等价无穷小替换及复合函数的极限运算法则进行运算.f(x)ln1f(x)sin2xx解：因为limln1lim(e1)500，x0sin2xx0ex1

4、f(x)f(x)ln1sin2x0f(x)所以lim1limee1，因此有lim0，x0sin2xx0x0sin2xf(x)f(x)据ln1，sin2x2x（x0），可得sin2xsin2xf(x)f(x)ln1sin2xsin2xf(x)f(x)1f(x)limlimlimlimlim5，x22x0e1x0xx0xsin2xx02x2x0xf(x)则lim10.2x0x21x例9.5(难度系数0.4，跨知识点12)lim(sincos).xxx解析：本题极限类型

5、为1型，先利用倒代换进行简化，再借助等价无穷小替换进行求解.1121xt解：令t，lim(sincos)lim(sin2tcost)xxxxt01sin2tcost1sin2tcost1limlim[(1sin2tcost1)sin2tcost1]tet0tt012tsin2tcost12t2limlimlimet0ttet0tt0te2.nx111axaxax12n例9.6(难度系数0.6，跨知识点32)lim，其中xna,a,,a0.12n解析：本题极限类型为“

6、1”型，先利用倒代换进行简化，再借助第二个重要极限以及洛必达法则进行求解.1解：令t，因此x111xxxtttna1a2annxa1a2antlim()lim()xnt0nttta1a2annnnntttta1a2annatatatnlim(1)12nt0nttta1a2anntttlimtlim(a1lna1a2lna2anlnan)lnalnalnaet0et0e12naaa.12n例9.7(难度系数0.4，跨知识点12,32)设数列x满足0x

7、，xsinxn1n1n12xxnn1(n1,2,)，求lim.nxn解析：本题为求“1”型未定式的极限，借助第二个重要极限以及洛必达法则进行求解.1cosx121(lnsinxlnx)limsinxxlimxcosxsinxlimxsinx1sinxx2x03x02解：limlimexex02xe2xe6xe6.x0xx0由limx0，根据函数极限与子列极限的关系，得nn111x2x2x21xn1nsinxnnsi