第五章 大数定理及中心极限定理

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1、概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　第五章大数定律及中心极限定理讲授内容：§1大数定律§2中心极限定理教学目的与要求：１、了解随机变量依概率收敛的概念.２、理解大数定律的含义.３、掌握中心极限定理.重难点：重点——中心极限定理及其应用难点——证明随机变量序列服从大数定律教学方法：课堂讲授教学建议：从一维随机变量、维随机变量到随机变量序列作为切入点,中心极限定理的结论与正态分布有关,再一次说明正态分布的重要性.学时：2学时．教学过程：一、大数定律定义：设为随机序列,为一常数.若对于任意的，有：则称依概率收敛于，记为：.依概率收敛具有性质：设又设函数在连续，则：.定理1(契比雪夫定理的

2、特殊情况)设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差.作前个随机变量的算术平均：,则有即：.证明：由于第五章——大数定理及中心极限定理　　　第7页(共7页)　　概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　由契比雪夫不等式有：令得：定理2(伯努利大数定理)设是次独立重复试验中事件发生的次数.是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意的，有：或证明：令（）即有：其中相互独立，且服从以为参数的分布．因此：,于是由切比雪夫定理有：即：.伯努利定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率.因此由实际推断原理，当试验的次数很大时，可以用事件发生的频率代替事件的概率.定理3(辛钦定理)设随机变量

3、相互独立，服从同一分布，具有期望：则，有：辛钦定理条件较宽，定理1（切比雪夫）是它的特例，贝努里定理又是切比雪夫定理的特例或应用.第五章——大数定理及中心极限定理　　　第7页(共7页)　　概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　二、中心极限定理定理4(独立同分布的中心极限定理)设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意满足：定理含义：均值为,方差为的独立同分布的随机变量之和的标准化变量，当充分大时，有：可以将上述结果改写为：即有：这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.定理5(李雅普诺夫定理)设随机变量相互独立，它们具有数

4、学期望和方差：记：,若存在正数，使得当时，有：第五章——大数定理及中心极限定理　　　第7页(共7页)　　概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意满足：定理表明：满足定理条件的相互独立的随机变量，无论服从什么分布，只要知道其期望和方差，则当很大时有近似.定理6(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量服从参数为的二项分布，则对任意的，有：.证明：由于，由前面例题知，其中服从分布，且分布律为：于是有：由定理4得：.此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，我们可用正态分布来计算二项分布的概率.中心极限定理的应用例1根据以往经验，某种电器元件

5、的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.解：设第只元件寿命为,第五章——大数定理及中心极限定理　　　第7页(共7页)　　概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　．令故.例2一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率为，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大于的概率是多少?解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作一次试验，并假定各次冲击是相互独立的，在90000次冲击中纵摇角大于的次数为一随机变量，且.直接计算则所求概率为：但此计算麻烦.现用中心极限

6、定理来作近似计算.已知：所求概率为：.例3（1）一个复杂的系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行时每个元件损坏的概率为0.10，又知为使系统正常工作，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度(正常工作的概率);(2)上述系统假如由个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常工作，问至少为多少才能保证系统的可靠度为0.95?解：（1）设,为系统正常工作时完好的元件个数，则第五章——大数定理及中心极限定理　　　第7页(共7页)　　概率论与数理统计教案信息与数学学院　　　　　且有：于是所求概率为：（2）查表得：，求得,即至少需要25个元件.例4在某保险公司有一万

7、人参加保险，每人付18元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领取2500元，问保险公司亏本的概率为多大？解：一万人每年的保险费为10000×18=180000元，公司不亏本，即每年赔偿费不大于18万元．在一万人中，一年内死亡人数不多于180000÷2500=72（人）本例概型为的二项分布概型，设为死亡的人数.则由棣莫佛－拉普拉斯定理知故可见保险公司亏本的概率是非常小的.［作业布置］P35