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1、§2.3Newton迭代法的变形3.计算重根的Newton迭代法由于可见,恰是方程F(x)=0的单根,应用Newton迭代法可得:设是方程(x)=0的m重根，则：(x)=(x-)mh(x),其中h(x)在x=处连续且h()0。可见,恰是方程u(x)=0的单根,应用Newton迭代法有这是求方程(x)=0重根的具有平方收敛的迭代法,而且不需知道根的重数.例6利用Newton迭代法求方程(x)=x4-8.6x3-35.51x2+464.4x-998.46=0的正实根.oxy246810y=f(x)解y=(x)的图形为可见,方程
2、在x=4附近有一个重根,在x=7附近有一单根。利用Newton迭代法求方程的单根,取初值x0=7,精度=10-6,计算可得:x4=7.34846923,x5=7.348469229,
3、x5-x4
4、=0.000000001可见,迭代5次就得到满足精度的解x5=7.348469229利用求重根的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,可得x3=4.300000,x4=4.300000,
5、x4-x3
6、=0.000000006然而若用一般的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,虽然也收敛,却需要迭代19次才能得到满足精度要求的解.可见
7、,迭代4次就得到满足精度的解x4=4.300000.利用带参数2的Newton迭代法,取x0=4可得x2=4.2999898.若(a0)(x0)>0,取a1=x0,b1=b0，而且有根区间[a1,b1]长度是有根区间[a0,b0]长度的一半。§3二分法设(x)在区间[a,b]上连续且(a)(b)<0。记a0=a，b0=b。0yxy=(x)a0b0计算x0若
8、(x0)
9、<,则取x0;否则,若(a0)(x0)<0,取a1=a0,b1=x0;得到新的有根区间[a1,b1],再对区间[a1,b1]重复上面运算,即:计算若
10、(x
11、1)
12、<,则取x1;否则,若(a1)(x1)<0,取a2=a1,b2=x1;若(a1)(x1)>0,取a2=x1,b2=b1,得到新的有根区间[a2,b2]。而且有根区间[a2,b2]长度是有根区间[a1,b1]长度的一半。一直进行下去,直到求出有根区间[ak,bk]。或者有
13、(xk)
14、<,或者有可见,k趋向无穷大时,xk收敛于。而且,若要
15、xk-
16、<,只要此时,再计算在计算过程中,若出现
17、(xk)
18、<1,或bk-ak<2。则可取xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算。例7用二分法求x3+4x-7=0在区间[1,
19、2]内根的近似值,并估计误差。解这里(x)=x3+4x-7，(1)(2)=-18<0,而且(x)=3x2+4>0,所以(x)=0在[1,2]区间有唯一根。取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间[1,1.5],x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间[1.25,1.5],x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间[1.25,1.375],x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间[1.25,1.3125],x9=1.254882813,得有根区间[1.254882
20、813,1.255859375],x10=1.255371094,(x10)=-0.000105285取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有只需k>5ln210-115.61，即需取x16。如果取精度=10-5,则要使…………………………………………………二分法要求函数在区间[a，b]上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是，若方程(x)=0在区间[a，b]上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程(x)=0在区间[a，b]有重根时，也未必满足(a)(b
21、)<0。练习题第102页习题44-1,4-3而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值。练习题第102页习题44-4,4-5,4-7,4-8,练习题第102页习题44-10，4-12,4-13,例如x0yy＝f(x)ab123x0例如x0yy＝(x-)2ab课堂练习证明方程x3-x-5=0在区间［1，2］有唯一根。构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xｋ)，k=0，1，2，…，使对任何初值x0[1,2]都收敛,并说明收敛理由和收敛阶。解这里(x)=x3－x-5，(1)(2)=-
22、5<0,而且(x)=3x2－1>0,所以(x)=0在[1,2]区间有唯一根。,建立迭代格式改写原方程为等价方程由于(x)＝(x+
