导数中的构造函数(最全精编)

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1、QQ群高中数学解题研究会339444963程磊老师导数专题讲座导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。（一）利用f(x)进行抽象函数构造f(x)u1、利用f(x)与x构造；常用构造形式有xf(x),；这类形式是对uv,型函xvu数导数计算的推广及应用，我们对uv,的导函数观察可得知，uv型导函数中vu体现的是“”法，型导函数中体

2、现的是“”法，由此，我们可以猜测，当v导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造uv型，当导函数形式出现u的是“－”法形式时，优先考虑构造，我们根据得出的“优先”原则，看一看v例1，例2.'【例1】f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0，且f(4)0，则不等式xf(x)0的解集为____________❀❀❀思路点拨：出现“”形式，优先构造F(x)xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.'''【解析】构造F(x)xf(x)，则F(x)f

3、(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，'可以推出x0，F(x)0，F(x)在(,0)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0,)上也单调递减.根据f(4)0可得F(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf(x)0的解集为(,4)(0,4).【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)0，当x0时，有'xf(x)f(x)0恒成立，则不等式f(x)0的解集为____________

4、____微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！1QQ群高中数学解题研究会339444963程磊老师导数专题讲座f(x)❀❀❀思路点拨：出现“”形式，优先构造F(x)然后利用函数的单调x性、奇偶性和数形结合求解即可.'f(x)'f(x)xf(x)【解析】构造F(x)，则F(x)，当x0时，2xx''xf(x)f(x)0，可以推出x0，F(x)0，F(x)在(,0)上单调递增.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0,)上也单调递减.根据f(1)0

5、可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f(x)0的解集为(,1)(1,).f(x)xf(x),是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，x不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.n'n1nn1'F(x)xf(x)，F(x)nxf(x)xf(x)x[nf(x)f(x)]；'nn1'f(x)'f(x)xnxf(x)xf(x)nf(x)F(x)，F(x)；n2nn1xxx结论：'n出现nf(x)

6、xf(x)形式，构造函数F(x)xf(x)；'f(x)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).nx我们根据得出的结论去解决例3题'【例3】已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0'时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是___________❀❀❀思路点拨：满足“xf'(x)nf(x)”形式，优先构造f(x)然后利用F(x)nx函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！2QQ群高中数学解

7、题研究会339444963程磊老师导数专题讲座'f(x)'f(x)x2f(x)【解析】构造F(x)，则F(x)，当x0时，23xx''xf(x)2f(x)0，可以推出x0，F(x)0，F(x)在(0,)上单调递减.∵f(x)为2偶函数，x为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(,0)上单调递增.根据f(1)0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f(x)0的解集为(1,0)(0,1).3'21【变式提升】设函数f(x)满足xf(x)

8、3xf(x)1lnx，且f(e)，2e则x0时，f(x)（）A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值'f(x)❀❀❀思路点拨：满足“xf(x)nf(x)”形式，为n3时情况，优先构造F(x)，nx然后利用积分、函数的性质求解即可.'【例4】设f(x)是定义在R上的奇函数，在(,0)上有2xf(2x)f(2x)0，且f(2)0，则不等式xf(2x)