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1、分类讨论思想分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值
2、a
3、的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形
4、的分类等；（3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同
5、时要有利于问题研究；3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(
6、3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。题型1：集合中分类讨论问题例1．已知集合M=｛a2,a+1,－3｝,N=｛a－3,2a－1,a2+1｝
7、,若M∩N=｛－3｝,则a的值为____________解析：M∩N=｛-3｝，N=｛a-3，2a-1，a2+1｝，若a－3=-3,则a=0,此时M={0,1,－3}，N={－3，－1，1}，则M∩N=｛-3，1｝，舍去若2a－1=－3，则a=－1，此时M={1,0,－3},N={－4,－3,2}，若a2+1=－3，此方程无实数解。答案a=—1例2．记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的____________条件（填必要不充分条件或充分不必要条件或充
8、要条件或既不充分也不必要条件）解析：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形答案：必要而不充分的条件题型2：函数、方程中分类讨论问题例3．（2011天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是；答案：【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得．于是实数的取值范围是．解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．，因为，，则，设函
9、数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．解得．于是实数的取值范围是．解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．例4．已知函数，．（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设，解关于x的方程；（Ⅲ）试比较与的大小．解：（Ⅰ）由（）知，，令，得．当时，；当时，．故当时，是减函数；时，是增函数．函数在处有得极小值．（Ⅱ）方法一：原方程可化为，即为，且①当时，，则，即，，此时，∵，此时方程仅有一解．②当时，，由，得，，若，则，方程有两解；若时，则，方程有一解；若或，原方程无解．方法
10、二：原方程可化为，即，①当时，原方程有一解；②当时，原方程有二解；③当时，原方程有一解；④当或
