怎样确定二次函数的解析式？

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1、怎样确定二次函数的解析式？确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜．（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．因A、B、C三点在函数的图象上，所以它们的坐标满足函数的解析式．把A、B、C三点的坐标代入所设解析式，（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．解得a＝

2、－2．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．思路启迪由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．规范解法设二次函数的解析式为再把点C（1，-3）的坐标代入，得－3＝a（1－2）（1＋1），点评上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．如例2中的抛物线顶点坐标为（2，3），可以列出两个方程，即顶点的横坐标，①顶点的纵坐标，②再把点（3，1）的坐标代入，得9a+3b+c=1　　③把方程①、②、③联立得方程组，解得显

3、然，选用一般式解决例2的问题比用顶点式麻烦得多．因此，求二次函数的解析式，根据己知条件选取表达式是关键．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．思路启迪一已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得思路启迪二由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．思路启迪三由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过两定点，可设解析式为一般式，

4、解这个方程组，得思路启迪四由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设解析式为交点式．设二次函数的解析式为y＝a（x－1）（x－5）．a（3－1）（3－5）＝－2，思路启迪五同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．规范解法5同解法4，求得点B（1，0）关于对称轴x＝3的对称点（5，0），设二次函数的解析式为点评例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解

5、题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．注本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．29．如何利用“抛物线x轴交点间的距离”求二次函数的解析式？已知抛物线与x轴两交点间的距离，求二次函数的解析式，一般有下列两种情况：例1已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，

6、可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）．此时，可随意使用二次函数的一般式或交点式，得二次函数的解析式为点评同一个题目使用不同的方法求解后，应进一步比较分析它们的优缺点，才能不断提高解题水平，求得最简捷的解法．例2已知二次函数的图象经过和两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值．确

7、定第三个方程的思路有二．规范解法1因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的两个根方程的求根公式为即两边平方，得规范解法2根据一元二次方程根与系数的关系，点评以上两种变形方法都应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．30．怎样求二次函数的最大（小）值？求二次函数的最大值和最小值的问题，有着广泛的应用．求二次函数的最值，有下面三种方法：（1）公式法．由二次函数的图象看出，当a>0时，抛物线的开口向上，它的顶点在最低处．由此可得：当a>0且时，函数达到最小值，这个最小值就是抛物线

8、顶点的纵坐标，即当a<0且时，函数达到最大值，这个最大值就是抛物线顶点的纵坐标，即例1求函数的最大值或最小值.规范解法由a=1>0知抛物线开口向上故当（2）配方法．例2求二次函数的最大值或最小值.规范解法∵点评利用公式法与配方法求二次函数的最值时，