201505南京数学考前20题

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1、2015届高三数学考前综合题一、填空题1．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2＝T8，则T10＝．【答案】1【提示】法一：由T2＝T8得a3·a4·…·a8＝1，则(a3·a8)3＝1，a3·a8＝1．从而T10＝a1·a2·…·a10＝(a1·a10)5＝(a3·a8)5＝1；法二：(特殊化思想)，取an＝1，则T10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1；可类比：{an}为等差数列，其前n项

2、的和为Sn，若Sm＝Sn，则Sm＋n＝0．(其中m，n∈N*，m≠n)．2．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为5．若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是________．【答案】．【提示】由P到直线l的最大距离为5，得圆心C到直线l的距离为3，从而直线l与圆C相离．过A引圆C的切线长AB＝＝≥＝．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l：x－2y＋m＝0上存在点M满足与两点A(－2，0)，B

3、(2，0)连线的斜率kMA与kMB之积为－，则实数m的值是___________．【答案】[－4，4]．【提示】点M的轨迹为＋＝1(x≠±2)．把直线l：x＝2y－m代入椭圆方程得，16y2－12my＋(3m2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{an}为正项等差数列，满足＋≤1(其中k∈N*且k≥2)，则ak的最小值为_________．【答案】．第18页共18页【提示】因为{a

4、n}为正项等差数列，则ak＝≥·(＋)＝·(5＋＋)≥·(5＋2)＝(当且仅当＋＝1，且＝，即a1＝3，a2k－1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________．ABCD【答案】3【提示】过A作AD⊥BC，垂足为D，则·＝

5、

6、

7、

8、cosB＝BDBC＝3BD＝12，所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝＝≤，且仅当y＝，即y

9、＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20°＋tan20°＝．【答案】．【提示】原式＝4sin20°＋＝＝＝＝＝．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路．7．设α是锐角，且cos(α＋)＝，

10、则sin(2α＋)的值为．【答案】【提示】因为α是锐角，所以＜α＋＜，因为cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝．sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝．第18页共18页sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＝3，an

11、＋an＋1＋…＋am＝720(m，n∈N*，m＞n)，则m＋n＝．【答案】9．【提示】因为an＝2·3n－1，则an＋an＋1＋…＋am＝＝3n－1·(3m－n＋1－1)＝720＝32×24×5，则，解得n＝3，m＝6，则m＋n＝9．【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f(x)＝，若任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b，则实数a的取值范围是．【答案】－5≤a≤4．【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b”等价于函数f(x)

12、的值域为R．在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数y＝x＋4及y＝x2－2x的图像，观察图像可知－5≤a≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是．【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a＝0，解得x＝±，不合题意．若a＞0，则f(－1)＝－a－2＜0，f(0)